Báo cáo nghiên cứu khoa học: VỀ TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM NHỚT CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP HAI LOẠI PARABOLIC

Lý thuyết nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến toàn cục đã được khảo sát bởi M. G. Crandall, H. Ishii, P. L. Lions [1], R. Jensen [3] trong khuôn khổ các nguyên lý so sánh, các định lý duy nhất nghiệm và các định lý tồn tại nghiệm. Bài báo này trình bày một nguyên lý so sánh và đưa ra tính duy nhất của nghiệm nhớt cho các phương trình đạo hàm riêng cấp hai loại parabolic suy biến tổng quát. ...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Báo cáo nghiên cứu khoa học: "VỀ TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM NHỚT CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP HAI LOẠI PARABOLIC" VỀ TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM NHỚT CỦA PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP HAI LOẠI PARABOLIC ON THE UNIQUENESS OF VISCOSITY SOLUTIONS TO SECOND ORDER PARABOLIC PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS NGUYỄN CHÁNH ĐỊNH Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng TÓM T ẮT Lý thuyết nghiệm nhớt của phương trình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến toàn cục đã được khảo sát bởi M. G. Crandall, H. Ishii, P. L. Lions [1], R. Jensen [3] trong khuôn khổ các nguyên lý so sánh, các định lý duy nhất nghiệm và các định lý tồn tại nghiệm. Bài báo này trình bày một nguyên lý so sánh và đưa ra tính duy nhất của nghiệm nhớt cho các phương trình đạo hàm riêng cấp hai loại parabolic suy biến tổng quát. ABSTRACT The theory of viscosity solutions of scalar fully nonlinear partial differential equations of second order has been considered by M. G. Crandall, H. Ishii, P. L. Lions [1], R. Jensen [3] which provides a framework in comparison principles, uniqueness theorems and existence theorems. This paper deals with a comparison principle and provides a uniqueness property of a viscosity solution to general degenerate parabolic partial differential equations of second order. 1. ĐẶT VẤN ĐỀ Khái niệm nghiệm nhớt được áp dụng cho các phương trình đạo hàm riêng có dạng: F(x, u, Du, D 2 u) = 0, trong đó, F: R n  R  R n  S(n)  R với S(n) là ký hiệu của tập hợp tất cả các ma trận vuông đối xứng cấp n. Trong thực tế ta thường xem xét hàm số F(x, u, Du, D 2 u) = 0 với u là một hàm số giá trị thực xác định trong một tập con  của R n , Du là ký hiệu gradient của u và D 2 u ký hiệu cho ma trận Hessian các đạo hàm cấp hai của u. Tuy nhiên, trong khuôn khổ của bài toán sau đây, Du và D 2 u không còn theo nghĩa cổ điển, tức là u không đòi hỏi phải khả vi liên tục đến cấp hai. Ta sẽ áp dụng lý thuyết nghiệm nhớt cho phương trình F = 0, trong đó F phải thỏa mãn điều kiện đơn điệu (monotonicity condition): F(x,r,p,X)  F(x,s,p,Y) với r  s và Y  X (1.1) trong đó r, s  R, x, p  R n , X, Y  S(n) và trên S(n) đã trang bị thứ tự thông thường của nó. Lưu ý rằng, điều kiện ở trên cho ta hai điều kiện: F(x,r,p,X)  F(x,s,p,X) với r  s (1.2) F(x,r,p,X)  F(x,r,p,Y) với Y  X. (1.3) Khi đó ta nói F là suy biến (degenerate) nếu (1.3) là đúng. 2. KHÁI NIỆM NGHIỆM NHỚT Bây giờ ta xét u là một hàm của (t, x), tức là u = u(t,x), và xét phương trình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến loại parabolic: u t + F(t, x, u, Du, D 2 u) = 0, (2.1) trong đó Du và D 2 u có nghĩa là D x u (t , x) và D x2 u (t , x) và F thỏa mãn điều kiện (1.1) (với x được thay bởi (t,x)). Cho  là một tập con compact địa phương của R n , T > 0, và ký hiệu  T = (0,T)   . Ta ký hiệu P ,  và P ,  của hàm số u:  T  R như sau: 2 2 P ,  u(s,z) = {(a,p, X)  R  R n  S(n) | (s,z)   T và u(x,t)  u(s,z) + a(t-s) + p, x  z 2 1 X ( x  z ), x  z + o(|t-s|+ | x  z | 2 ) khi (t,x)  (s,z) trong  T } + 2 và P ,  u = - P ,  (-u). 2 2 Ta định nghĩa: P ,  u(t,x) ={(a,p, X)  R  R n  S(n) |  ( t n , x n , a n , p n , X n )   T  R  R n  S(n), 2 ( a n , p n , X n ) P ,  u( t n , x n ) và ( t n , x n , u( t n , x n ), a n , p n , X n )  (t, x, u(t,x), a, p, X)} 2 P ,  u(t,x) ={(a,p, X)  R  R n  S(n) |  ( t n , x n , a n , p n , X n )   T  R  R n  S(n), 2 ( a n , p n , X n ) P ,  u( t n , x n ) và ( t n , x n , u( t n , x n ), a n , p n , X n )  (t, x, u(t,x), a, p, X)}. 2 ĐỊNH NGHĨA: a. Một nghiệm nhớt dưới của phương trình (2.1) là một hàm u  C(  T ) sao cho: a + F(t, x, u(t,x), p, X)  0 với (t,x)   T và (a, p, X)  P ,  u(t,x) ; 2 b. Một nghiệm nhớt trên của phương trình (2.1) là một hàm v  C(  T ) sao cho: a + F(t, x, v(t,x), p, X)  0 với (t,x)   T và (a, p, X)  P ,  v(t,x) ; 2 c. Một nghiệm nhớt của phương trình (2.1) là một hàm u  C(  T ) sao cho u vừa là nghiệm nhớt dưới vừa là nghiệm nhớt trên của phương trình (2.1). 3. TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM Xét bài toán Dirichlet cho phương trình (2.1) u t  F(t, x, u, Du, D 2 u)  0 trong (0, T)    (3.1) u (t , x )  0, 0  t  T, x    u (0, x)   ( x), x  . Trong đó   R n là một tập mở, T > 0 và   C () là một hàm số cho trước. Định lý: Cho   R n là một tập mở bị chặn. Cho F  C ([0, T ]    R  R n  S (n)) thỏa mãn (1.1) với mỗi t cố định và thỏa mãn các điều kiện sau đây cho mỗi t: F(t, y, r,  ( x  y ) , Y) - F(t, x, r,  ( x  y ) , X)   ( | x  y | 2  | x  y |) với mọi x, y   , r R , và X, Y  S (n) thỏa điều kiện sau: I 0  X 0 I -I -3     0  Y   3    ...