Báo cáo tiểu luận: Phép dời hình và phép đối xứng tâm

Nếu phép đối xứng trục biến hai điểm bất kì M và N thành hai điểm M’ và N’ thì MN = M’N’. Nói một cách khác: Phép đối xứng trục không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm thẳng hàng đó.Phép đối xứng trục biến một đường thẳng thành đường thẳng, biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng có độ dài bằng nó, biến một góc thành góc có số đo bằng...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Báo cáo tiểu luận: Phép dời hình và phép đối xứng tâmSơ đồ Nội dung: Chủ đề : Về phép đối xứng tâm và phép tịnh tiến Như ta đã biết :phép đối xứng tâm, đối xứng trục, tịnh tiến hay phép quay đều là các trường hợp đặc biệt của phép dời hình.Vậy để nghiên cứu sâu hơn về phép đối xứng tâm và phép tịnh tiếntrước tiên ta sẽ nghiên cứu sơ lược một số vấn đề của phép dời hình.I Phép dời hình M →1, Định nghĩa V N’ Một phép biến hình f : E2 →E2 được gọi là Imột phép dời hình. Với M,N bất kì thuộc E2, gọi f(M)=M’; N M’f(N)=N’ thì ta luôn có M’N’=MN. N” Nhận xét : -Phép đồng nhất là một phép dời hình -Nếu f là một phép dời hình thì f cũng là 1 phép dời hình M” 2. Tính chất Định lí 1: (Tính chất cộng tuyến)Phép dời hình biến 3 điểm A,B,C thẳng hàng (với B nằm giữa A và C)thành ba điểm A’,B’,C’ thẳng hàng (với B’ nằm giữa A’ và C’). C CGiả sử f là phép dời hình f : E2 →E2Với A,B,C ∈ E2 giả sử f(A)=A’; f(B)=B’; f(C)=C’ B B  AB=A’B’ IDo f là phép dời hình nên ⇒ BC=B’C’ (1) CA=C’A’ A A Ta chứng minh A,B,C thẳng hàng ⇒ A’ ,B’ ,C’ cũng thẳng hàng Vì B nằm giữa A và C nên A,B,C thẳng hàng ⇔ AB+BC=AC (2) Theo (1) và (2) ta có A’B’ +B’C’=A’C’Vậy A’,B’,C’ thẳng hàng và B’ nằm giữa A’ và C’ Hệ quả 1 : Phép dời hình biến 1 đường thẳng thành 1 đường thẳng ,biến 1 tia thành 1 tia, mặt phẳng thành mặt phẳng ,biến 1 đoạn thẳng thành 1 đoạn thẳng bằng nó Hệ quả 2: Phép dời hình biến 1 tam giác thành 1 tam giác bằng nó,biến 1 góc thành 1 góc bằng nó,biến 1 đường tròn thành 1 đường tròn bằng nó với tâm đường tròn này biến thành tâm đường tròn kia. Định lí 2 :Tích của 2 phép dời hình là 1 phép dời hìnhChứng minh: Cho f : E2 → E2 ; g : E2 → E2 là 2 phép dời hình f(A)=A’ g(A’)=A’’ 2 Xét A,B bất kỳ ∈ E giả sử f(B)=B’ và g(B’)=B’’    AB=A’B’ Vì f và g là 2 phép dời hình nên A’B’=A”B” ⇒ AB=A”B”  Ta có: g o f (A) = g(f(A)) = g(A’) = A” g o f (B) = g(f(B)) = g(B’) =B” thỏa mãn AB=A”B” ⇒ g o f là 1 phép dời hình Hệ quả : -Tích của n phép dời hình là 1 phép dời hình -Tích của1 phép dời hình f với phép đảo ngược của nó là một phép đồng nhất Định lí 3 :Tích các phép dời hình có tính chất kết hợp Chứng minh : Giả sử f,g,h là các phép dời hình Ta cần chứng minh ( f o g) o h =f o(goh) h : E2 → E2 ; g : E2 → E2 ; f : E2 → E2 Giả sử M g M |→ M’ M’|→ M’’ M’’|→ M’’’ M Ta có : (f o g) o h (M) = (fog)(h(M)) = fog(M’) h = f(g(M’)) M = f(M’’) = M’’’ (1) MLại có : f o(g o h)(M) = fo(goh)(M) = fo(goh(M)) = fo(g(h(M))) = f(g(M’)) = f(M”) = M”’ (2)Từ (1) và (2) ta có (fog)oh = fo(goh) Định lý 4: Tập hợp các phép dời hình lập thành 1 nhóm các phép biến hình với phép toán là tích các phép biến hình Chứng minh:- Ta có tích 2 phép dời hình là 1 phép dời ⇒Tập các phép dời hình đóng kín vớiphép toán đã cho.- Tập các phép dời hình có tính chất kết hợp (Định lí 3)Thật vậy: giả sử phép dời hình f: E2 →E2 M →M’ : MN=M’N’ N → N’Ta có f o idA(M) = f(idA(M)) = f(M) = M’ idA o f (M) = idA (f(M)) = idA (M’) = M’ ⇒ f o idA = idA o f - Tập các phép dời hình có phần tử đơn vị là phép dời hình đồng nhất idA vì: f  idA = idA  f = f - Mọi phép dời hình f đều tồn tại phép dời hình đảo f-1 sao cho: f  f-1 = f-1  f = idA ⇒ Tập hợp các phép dời hình lập thành 1 nhóm Hệ quả:-Phép ...