Báo khoa học: Dạy và học phương trình vi phân Bec-nu-li với sự trợ giúp phần mềm toán học

Mục tiêu của bài báo này là viết chương trình toán học bằng phần mềm MAPLE để phân tích quá trình giải phương trình vi phân Bec-nu-li (Bài toán Bec-nu-li). Từ đó áp dụng giải một số bài toán dạng phương trình vi phân cấp 1 và cấp 2 ABSTRACT.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Báo khoa học: Dạy và học phương trình vi phân Bec-nu-li với sự trợ giúp phần mềm toán học DẠY VÀ HỌC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN BEC-NU-LI VỚI SỰ TRỢ GIÚP PHẦN MỀM TOÁN HỌC MAPLETEACHING AND LEARNING BERNOULLI EQUATIONS WITH THE HELP OF MAPLE MATHEMATICAL SOFTWARE NCS. TRẦN NGỌC VIỆT TÓM TẮT Mục tiêu của bài báo này là viết chương trình toán học bằng ph ần m ềm MAPLE để phân tích quá trình giải phương trình vi phân Bec-nu-li (Bài toán Bec-nu-li). Từ đó áp dụng giải một số bài toán dạng ph ương trình vi phân cấp 1 và cấp 2. ABSTRACT This paper presents a new approach to solve Bernoulli differential equations (Bernoulli problem) with the help of program written with the Maple software. This program is then applied to some linear equations of the first order and the second order. Key word: Bernoulli problem, differential equations, linear equations. 1. Đặt vấn đề Phương trình vi phân xuất hiện trên cơ s ở phát tri ển c ủa khoa học, kĩ thuật và những yêu cầu đòi hỏi thực tế. Đã có những tài liệu, giáo trình đề cập đến những bài toán cơ học, vật lý dẫn đến sự nghiên cứu các phương trình vi phân tương ứng. Cùng với những thành tựu tuyệt vời trong lĩnh vực công nghệ thông tin, người ta đã xây dựng được những phần mềm có tính vạn năng mà nh ờ nó vi ệc gi ải toán được thực hiện dễ dàng bằng những câu lệnh thật đơn giản, chứ 1không phải lập trình phức tạp như trước. Nhiều phần mềm h ỗ trợtính toán ưu việt phải kể đến như: Maple, Mathematica, Mathcad,Matlab, Algebrator,… Ứng dụng và phát triển công nghệ thông tin ởnước ta theo chỉ thị số 58-CT/TW, ngày 17-10-2000 của Bộ Chính trịđã nêu: “ Về đẩy mạnh ứng dụng và phát triển công nghệthông tin phục vụ sự nghiệp công nghiệp hoá, hiện đại hoá”. Với mục đích tìm hiểu về phương pháp, phân tích quá trình giải bàitoán phương trình vi phân bằng chương trình toán học. Bài báo đi sâutìm hiểu về phần mềm Maple và sử dụng nó trong việc dạy và h ọcphương trình vi phân, được minh họa các ý tưởng giải ph ương trình viphân qua phần mềm Maple. Maple là phần mềm do một nhóm các nhàkhoa học của Canada thuộc trường đại học Waterloo làm ra với mụcđích giải quyết mọi công việc liên quan đến tính toán.2. Phương trình Bec-nu-liĐịnh nghĩa. Phương trình vi phân cấp 1 có dạng y + p ( x). y = q( x). y α (2.1) với p ( x), q( x) là các hàm liên tục của x (hoặc là hằng số),α ≠ 0,α ≠ 1 được gọi là phương trình Bec-nu-li.Cách giải.+Nếu y = 0 với α > 0 ⇒ y = 0 , phương trình đã cho thỏa mãn nêny = 0 là 1 nghiệm của phương trình Bec-nu-li với α > 0 .+Nếu y ≠ 0 , chia 2 vế của (2.1) cho y ta được αy −α . y + p( x). y 1−α = q ( x) (2.2) 2 Đặt z = y ⇒ z = (1 − α ) y y 1−α −α 1 Phương trình (2.2) trở thành z + p( x).z = q( x) (2.3) 1−α ⇔ z +(1 − α ). p( x) z = (1 − α ).q( x) (2.4), đây là phương trình tuyến tính cấp 1 đối với z . Sau khi tìm được nghiệm tổng quát của phương trình (2.4) đưa về biến y , ta được nghiệm tổng quát của phương trình Bec-nu-li. Ví dụ. Giải phương trình vi phân x y + y=x y 1 − x2 Giải. Ta có α = 1 2 , đặt z = y 1−α = y 2 = y 1 x 1 ⇒ z + z = x , đây là phương trình tuyến tính cấp 1 đối với z 2(1 − x ) 2 2 1 ⇒ z = ( x 2 − 1) + C1 4 x 2 − 1 3 1 x2 ⇒ y+ − − C1 4 x 2 − 1 = 0, 3 3 là nghiệm tổng quát của phương trình. Nghiệm y = 0 cũng là nghiệm 1 của phương trình đã cho (vì 0 < α = < 1 ). 23. Chương trình toán học giải phương trình vi phân Bec-nu-li3.1. Lệnh nhập xuất dữ liệu 3+ Hàm readstat(): hiện dấu nhắc trả về dữliệu nhập từ bàn phím.+ Hàm print(data1, data2,… ): hiển thị dữ liệu ra màn hình.Lưu ý: xâu ký tự đặt trong dấu ` `.3.2. Xây dựng thủ tục trong Maple+ Maple là một ngôn ngữ lập trình hướng thủ tục (procedure). Ch ế độ th ủtục được thực hiện bằng cách đóng gói một dãy các lệnh xử lí cùng một côngviệc vào một thủ tục duy nhất, sau đó chỉ cần gọi thủ tục này và Maple t ựđộng thực hiện các lệnh có trong chu trình đó một cách tu ần t ự và sau đó tr ảlại kết quả cuối cùng.+ Khai báo thủ tục như sau:Procedure_name:=proc(parameter_sequence)[local local_sequenc ...