BẤT ĐẲNG THỨC

Khi giải các bài toán đặc biệt là các bài toán về các bất đẳng thức tôi nhận thấy các em thường: + Các em thường sợ các bất đẳng thức. bỏ qua và khụng cú hứng thỳ. bởi vỡ tụi nhận thấy ở cỏc em:+Lúng túng thụ động không biết từ đâu,phân tích bài toán như thế nào ?.+Không nắm vững các bất đẳng thức quan trọng cũng như các hệ quả của các bất đẳng thức như côsi, bunhiacopski ,v…v…+ Khụng nắm được một số bất đẳng thức đơn giản thường gặp và cú nhiều ứng...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
BẤT ĐẲNG THỨCSáng kiến kinh nghiệm Gv: LÊ XUÂNTHẮNG BẤT ĐẲNG THỨC-“THẬT ĐƠN GIẢN”I.Lý do chọn đề tài.Khi giải các bài toán đặc biệt là các bài toán về các bất đẳng th ức tôi nh ận th ấycác em thường: + Các em thường sợ các bất đẳng thức. bỏ qua và khụng cú h ứng thỳ. bởi vỡtụi nhận thấy ở cỏc em: +Lúng túng thụ động không biết từ đâu,phân tích bài toán như thế nào ?. +Không nắm vững các bất đẳng thức quan trọng cũng như các h ệ quả củacác bất đẳng thức như côsi, bunhiacopski ,v…v… + Khụng nắm được một số bất đẳng thức đơn giản thường gặp và cú nhi ềuứng dụng. +Khi giải được bài toán rồi thì dừng lại, không tiếp tục tìm tòi khai thác,biến đổi thay đổi giả thuyết và giải bài toán bằng nhiều cách, từ đó nếu có th ể suyra bài toán tổng quát.Để khắc phục được hạn chế trên, định hướng các em tư duy lôgíc. Tôi mạnh d ạnđưa ra một vài kinh nghiệm nhỏ trong bài viết này hy vọng các em h ọc t ập hi ệuquả hơn bằng cách tiếp cận vấn đề bằng một bất đẳng thức hết sức quen thuộc,dễ chứng minh dễ nhớ và đặc biệt cú rất nhiều ứng dụng ở lớp 10 cũng như ởchương trỡnh phổ thụng. 1 1 1 1 Bài toàn: Với hai số dương x và y ta có: ≤ ( + ) (1) x+ y 4 x y Đẳng thức xảy ra khi x =y.Bất đẳng thức (1) có nhiều cách chứng minh ở đây đưa ra hai cách chứng minh ph ổbiến nhất. Cỏch 1. Với hai số dương x và y ta cú: 1 1 1 1 ( x + y ) 2 ≥ 0 ⇒ (x + y)2 ≥ 4 xy ⇒ ≤ ( + ) x+ y 4 x y Rừ ràng, đẳng thức xảy ra khi x = y. Cỏch 2. áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương ta có 1 1 1 1 2 x + y ≥ 2 xy, + ≥2 . = x y x y xy 1 1 1 1 1 1 Từ đó: ( x + y ) ( + ) ≥ 4 ⇒ ≤ ( + ) x y x+ y 4 x y Và đẳng thức xảy ra khi x =y.Tổng quỏt: Cho hai số x, y dương và a, b là hai số bất kỡ ta cú: ( a + b) ( a + b) 2 2 a 2 b2 a 2 b2 ≤ ( + ) hay ( + ) ≥ . x+ y x y x y x+ yTrường THPT Triệu Sơn 4 1 -Sáng kiến kinh nghiệm Gv: LÊ XUÂNTHẮNG a bDấu bằng sảy ra khi và chỉ khi = . ( chứng minh bất đẳng thức này cũng cú x ynhiều cỏch chứng minh xin dành cho bạn đọc).II. Biện pháp thực hiện.Để làm được việc này cần có nhiều việc phải làm. Thứ nhất: yêu cầu và rèn luyện cho học sinh nắm vững các lý thuy ết c ơ b ảnnhư côsi,bunhiacopski,trêbưsep,v…,v…và các cách chứng minh thông thường. Thứ hai: Khi cho các em làm bài tập tôi đặc biệt h ướng cho các em phân tíchcác bài toán bằng cách trả lời câu hỏi: -Vai trò các số hạng nhân tử có bình đẳng không? -Bất đẳng thức có xảy ra dấu bằng không? Nếu xảy ra thì thì các s ố h ạngphải thoả mãn điều kiện nào. Từ đó cho phép áp dụng bât đẳng thức h ợp với giảthuyết của bài toán. Thứ ba : Khuyến khích các em biến đổi các bất đẳng th ức về b ất đ ẳng th ứcquen thuộc. đặc biệt là bất dẳng thức (1) Thứ tư: Sau khi khuyến khích các em giải bài toán theo nhiều cách, nhi ềucông cụ. Tổng quát bài toán.Công việc này rất có lợi cho tư duy cũng như khả năngtổng hợp kiến thức của các em.III. Phạm vi nghiên cứu.Sáng kiến này được thực hiện ở các lớp khối tại trường THPT Triệu Sơn 4.V. Thực hiện Bài toỏn 1. Cho ba số dương a, b, c, ta có: 1 1 1 1 1 1 1 + + ≤ ( + + ) (2) a+b b+c c+a 2 a b c Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.Áp dụng (1) ta cú ngay điều phải chứng minh. * Phỏt triển: Áp dụng (2) cho 3 số a+b, b+c, c+a ta được: 1 1 1 1 1 1 1 + + ≤ ( + + ) (3) a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b 2 a + b b + c c + a * Kết hợp (2) và (3) ta cú Bài toỏn 2. Với a, b, c là các số dương: 1 1 1 1 1 1 1 + + ≤ ( + + ) (4) a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b 4 a b c Đẳng thức xảy ra khi ...