Bất đẳng thức Bunhiacopxki và ứng dụng

Tham khảo bài viết bất đẳng thức bunhiacopxki và ứng dụng, tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bất đẳng thức Bunhiacopxki và ứng dụng www.MATHVN.comTröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim SônI.Bất đẳng thức Bunhiacôpxki ( BCS ) : Cho 2 bộ số thực ( a1 ; a2 ;...; an ) và ( b1 ; b2 ;...; bn ) , mỗi bộ gồm n số. Khi đó ta có: ≤ ( a12 + a2 2 + ... + an 2 ) ( b12 + b2 2 + ... + bn 2 ) ( a1b1 + a2b2 + ... + anbn ) 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: a a1 a2 = = ... = n với quy ước nếu mẫu bằng 0 thì tử phải bằng 0. b1 b2 bnII. Các hệ quả :Hệ quả 1: C Nếu a1 x1 + ... + an xn = C (không đổi) thì min ( x12 + ... + xn ) = 2 a + ... + an 2 2 1 x x1 = ... = n đạt được khi a1 anHệ quả 2: Nếu x12 + ... + xn = C 2 (không đổi) thì max ( a1 x1 + ... + an xn ) = C a12 + ... + an 2 2 x x1 = ... = n ≥ 0 đạt được khi a1 an min ( a1 x1 + ... + an xn ) = − C a12 + ... + an 2 x x1 Dấu “=” xảy ra ⇔ = ... = n ≤ 0 a1 anIII.Bất đẳng thức Bunhiacôpxki mở rộng: • Mở rộng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho 3 dãy số thực không âm ( a1 ; a2 ;...; an ) ; ( b1 ; b2 ;...; bn ) ; ( c1 ; c2 ;...; cn ) ta luôn có : ( a1b1c1 + a2 b2 c2 + ... + an bn cn ) ≤ ( a13 + a23 + ... + an3 ) ( b13 + b23 + ... + bn3 ) ( c13 + c23 + ... + cn3 ) 2Chứng minh: Đặt A = 3 a13 + a2 + ... + an , B = 3 b13 + b2 + ... + bn , C = 3 c13 + c2 + ... + cn 3 3 3 3 3 3 www.MATHVN.comChuyeân ñeå boài döôõng hoïc sinh gioûi K10 Page1 www.MATHVN.comTröôøng THPT Chuyeân Tieàn Giang GV Ñoã Kim Sôn Nếu A = 0 hoặc B = 0 hoặc C = 0 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng vì khi đó cả hai vế của bất đẳng thứcđều bằng 0. Vậy ta chỉ xét trường hợp A > 0; B > 0; C > 0 a b c Đặt xi = i ; yi = i ; zi = i với i = 1; 2;3 A B C ⎧ x1 + x2 + x3 = 1 3 3 3 ⎪ Khi đó ta có: ⎨ y13 + y2 + y3 = 1 và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: x1 y1 z1 + x2 y2 z2 + x3 y3 z3 ≤ 1 3 3 ⎪3 ⎩ z1 + z2 + z3 = 1 3 3 ⎧ x 3 + x13 + x13 x1 y1 z1 ≤ 1 ⎪ 3 ⎪ ⎪ x2 + x2 + x2 3 3 3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm: xi ; yi ; zi ( i = 1; 2;3) ta có: ⎨ x2 y2 z2 ≤ 3 3 3 ...