BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA CÁC CẠNH, CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC

Tham khảo tài liệu bất đẳng thức giữa các cạnh, các đường trong tam giác, tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA CÁC CẠNH, CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA CÁC CẠNH, CÁC ĐƯỜNG TRONGTAM GIÁCBài 30. Cho tam giác ABC. Gọi a, b, c và ha, hb, hc lần lượt là các cạnhvà các độ dài của các đường cao kẻ từ A, B, C; R là bán kính đườngtròn ngoại tiếp và S là diện tích tam giác ABC. Chứng minh rằng: a b c 3R1) a 6 h 3  b 6 h 3  c 6 h 3  96RS 4 ; 2) .  2 2 b c a 2 S hb hc haGiải1) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương, ta có a 6 hb3  b6 hc3  c 6 ha  3a 2 hb .b 2 hc .c 2 ha  3abc  aha  bhb .chc . 3 ah a .bh b .ch c  2S.2S.2S  8S3 ;Lại có abc = 4RS. a 6 h 3  b 6 h 3  c 6 h 3  96RS 4 .Suy ra b c a (đpcm) a 3  bc 2 6 3 6 3 6 3 a h  b h  c h  b c a  b 3  a 2 c  a  b  c .Dấu “ = ” xảy ra   ah a  bh b  ch c 3 2 c  ab2) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương, ta có ab c abc 3abc .  2  2  33 2 2 2  2 hb hc ha ha .hb .hc 2  aha .bhb .chc  3 39 ab c 3.4.RS 3RLại có a.h a .b.h b .c.h c  8S3 ; abc = 4RS  .  2 2  hb hc ha  2S 2 2 S(đpcm) a 2  bc a b c  2 2 Dấu “ = ” xảy ra   hb2 h c h a  b 2  ca  a  b  c .  a.h  b.h  c.h 2 c  ab a b c  Mở rộng: Với mọi tam giác ABC, ta luôn có: a 3  .h 3  b 3 .h 3  c 3  .h 3  3. 2 2   .S   2  .R    ( ,   ). b c a (Chứng minh dành cho bạn đọc).Bài 31. Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a, b, c; S là diện tích.Chứng minh rằng 2 2 2 a 2  b 2  c 2  4 3S  a  b   b  c   c  a  .(*)Giải. Ta có 2 2 2(*)   a 2   b  c    b 2   c  a    c 2   a  b    4 3S      p  b p  c   p  c p  a   p  a p  b   3S (với p là nửa chu vi). x  p  b  y  p  c  x  y  z  3p  a  b  c   p .Đặt: z  p  a  S = pp  a p  b p  c  .Ta lại cóKhi đó, (*) tương đương với: xy + yz + xz  3xyz (x  y  z )40  x 2 y 2  y 2 z 2  z 2 x 2  2 xyz (x  y  z )  3xyz ( x  y  z)  x 2 y 2  y 2 z 2  z 2 x 2  xyz (x  y  z) . Lần lượt áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương, ta có: x 2 y 2  y 2 z 2  2 xy 2 z ; y 2 z 2  z 2 x 2  2xyz 2 ; z 2 x 2  x 2 y 2  2 x 2 yz .Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên, ta được x 2 y 2  y 2 z 2  z 2 x 2  xyz ( x  y  z) . (đpcm) Dấu “ = ” xảy ra  x 2 y 2  y 2 z 2  z 2 x 2  x  y  z  a  b  c .Nhận xét  Từ bất đẳng thức (*), ta có bất đẳng thức ab  bc  ca  4 3S . (**) ...