Bất đẳng thức lượng giác - Chương 4

Đúng như tên gọi của mình, chương này sẽ bao gồm các bài viết chuyên đề về bất đẳng thức và lượng giác.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bất đẳng thức lượng giác - Chương 4Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giácChương 4 : M t s chuyên ñ bài vi t hay, thú v liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác ðúng như tên g i c a mình, chương này s bao g m các bài vi t chuyên ñ v b t ñ ngth c và lư ng giác. Tác gi c a chúng ñ u là các giáo viên, h c sinh gi i toán mà tác giñánh giá r t cao. N i dung c a các bài vi t chuyên ñ ñ u d hi u và m ch l c. B n ñ ccó th tham kh o nhi u ki n th c b ích t chúng. Vì khuôn kh chuyên ñ nên tác gich t p h p ñư c m t s bài vi t th t s là hay và thú v : M cl c: Xung quanh bài toán Ecdôs trong tam giác ……………………………………….78 ng d ng c a ñ i s vào vi c phát hi n và ch ng minh b t ñ ng th c trong tam giác…………………………………………………………………………………82 Th tr v c i ngu n c a môn Lư ng giác………………………………...............91 Phương pháp gi i m t d ng b t ñ ng th c lư ng giác trong tam giác…….............94The Inequalities Trigonometry 77Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giácXung quanh bài toán Ecdôs trong tam giác Nguy n Văn Hi n (Thái Bình) B t ñ ng th c trong tam giác luôn là ñ tài r t hay. Trong bài vi t nh này, chúng tacùng trao ñ i v m t b t ñ ng th c quen thu c : B t ñ ng th c Ecdôs.Bài toán 1 : Cho m t ñi m M trong ∆ABC . G i Ra , Rb , Rc là kho ng cách t M ñ n A, B, C và d a , d b , d c là kho ng cách t M ñ n BC , CA, AB thì : Ra + Rb + Rc ≥ 2(d a + d b + d c ) (E )Gi i : Ta có : 2S − 2S BMC R a ≥ ha − d a = ABC a 2S + 2S AMC = AMB a cd + bd b = c aB ng cách l y ñ i x ng M qua phân giác góc A bd + cd b  ⇒ Ra ≥ c  a  ad c + cd a  Tương t : Rb ≥  (1) b  ad b + bd a  Rc ≥  c  b c a c a b⇒ Ra + Rb + Rc ≥ d a  +  + d b  +  + d c  +  ≥ 2(d a + d b + d c ) ⇒ ñpcm. c b c a b aTh c ra (E ) ch là trư ng h p riêng c a t ng quát sau :Bài toán 2 : Ch ng minh r ng : k k k ( k k Ra + Rb + Rc ≥ 2 k d a + d b + d c k ) (2)v i 1≥ k > 0Gi i : Trư c h t ta ch ng minh :B ñ 1 : ∀x, y > 0 và 1 ≥ k > 0 thì : ( x + y )k ( ≥ 2 k −1 x k + y k ) (H )Ch ng minh : k  k (H ) ⇔  x + 1 ≥ 2 k −1  x k + 1 ⇔ f (a ) = (a + 1)k − 2 k −1 a k + 1 ≥ 0 v i x = a > 0  y   y  ( )     y [ k −1 k −1 ]Vì f (a ) = k (a + 1) − (2a ) = 0 ⇔ a = 1 ho c k = 1 . V i k = 1 thì (H ) là ñ ng th cñúng.Do a > 0 và 1 > k > 0 thì ta có : f (a ) ≥ 0 ∀a > 0 và 1 > k > 0The Inequalities Trigonometry 78Truòng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 4 M t s chuyên ñ bài vi t hay,thú v liên quan ñ n b t ñ ng th c và lư ng giác⇒ (H ) ñư c ch ng minh.Tr l i bài toán 2 :T h (1) ta có : k  bd c cd b  k  k −1  bd c  ...