Bất đẳng thức MINCÔPXKI và một số ứng dụng giải toán

Tham khảo tài liệu bất đẳng thức mincôpxki và một số ứng dụng giải toán, tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bất đẳng thức MINCÔPXKI và một số ứng dụng giải toán bất đẳng thức MINCÔPXKI và một số ứng dụng giải toánBài toán xuất phát : 1. Chứng minh rằng với ba số thực tuỳ ý x, y, z ta luôn có : x 2 + xy + y 2 + x 2 + xz + z 2 ≥ y 2 + yz + z 2Khi tôi đọc sách tham khảo đều có lời giải như sau :Trong mặt phẳng Oxy cho các véctơ AB và AC lần lượt có các toạ độ sau đây : 2 ⎛ y 3 ⎞ ⎛ y⎞ ⎛ 3 ⎞ 2AB = ⎜ x + ; ⎜ y ⎟ ⇒ AB = ⎜ x + ⎟ + ⎜ ⎟ y⎟ ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ 2⎠ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ⎛ z 3 ⎞ ⎛ z⎞ ⎛ 3 ⎞ 2AC = ⎜ x + ; ⎜ z ⎟ ⇒ AC = ⎜ x + ⎟ + ⎜ z⎟ ⎝ 2 2 ⎟ ⎠ ⎝ 2⎠ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ 2 ⎛y z 3 3 ⎞ ⎛ y z⎞ ⎛ 3 3 ⎞ 2⇒ CB = ⎜ − ; y+ z ⎟ ⇒ CB = ⎜ − ⎟ + ⎜ y+ z⎟ ⎜2 2 2 ⎝ 2 ⎟ ⎠ ⎝ 2 2⎠ ⎜ 2 ⎝ 2 ⎟⎠Do đó : AB = x 2 + xy + y 2 ; AC = x 2 + xz + z 2 ; CB = y 2 + yz + z 2Vì AB + AC ≥ CB ta suy ra điều phải chứng minh. • Có một số sách khác thì đặt : u; v rồi áp dụng công thức : u + v ≥ u − v ( tóm lại cùng 1 phán xét như thế cả ) Cảm nhận : Tôi không phủ nhận cái hay của nó nhưng thiết nghĩ có 1số hs nó thuộc cái này ngồi chép lại cũng đã mệt vãi….!!!! rồi, còn một số đứa nhìn thấy véctơ là tay chân cứ “lủn bủn” như vừa mới giết người xong í… Có hôm có đứa em nó sang đố tôi một bài kiểu thế này, tôi hỏi nó thế thầy mày chưa dạy mày sao ?. Nó trả lời thầy giải bằng phương pháp véctơ em đọc thuộc lúc sáng rùi bây zừ sang hỏi xem anh có làm được không ? Tôi cũng ngứa nghề nên bảo : để tao làm cho và tôi giải bằng phương pháp sử dụng BĐT Mincôpxki, nó cười lớn và bảo : Tưởng zì anh làm cách đó thì may khi anh thi ĐH không gặp kiểu bài này chứ gặp bài này anh rớt chắc…Bó tay ! Hiểu được chết liền ! Nó nói không được sử dụng kiến thức ngoài SGK. Tôi bảo : mày cũng có lí thế thì mày bình phương 1 phát là nó ra cái Cauchy – Scharz (B.S.C) của mấy ổng thôi mà. Cuối cùng thì nó cũng không bảo thủ nữa bởi véctơ nó có bít cái quái zì đâu …Hehe. Thiết nghĩ khi đi thi ĐH nếu cần những kiến thức mà mấy ổng ngoài đó không cho thì chứng minh luôn hoặc cứ phết 1câu “ dễ dàng chứng minh…cái này” – Không phải ngày xưa Fermat cũng thế mà nổi tiếng sao ????? ( a + c ) + (b + d ) 2 2 Bất đẳng thức Mincôpxki : a 2 + b2 + c 2 + d 2 ≥ , ∀a, b, c, d ∈ R (1) Chứng minh : (1) ⇔ (a 2 + b 2 )( c 2 + d 2 ) ≥ ac + bd (luôn đúng) copyright by zero in maths.vn bất đẳng thức MINCÔPXKI và một số ứng dụng giải toánNhư vậy áp dụng BĐT (1) để chứng minh bài 1 như sau : 2 2 2 y⎞ ⎛ 3 ⎞ z⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ y z⎞ ⎛ 3 3 ⎞ 2 2 2 ⎛ ⎛VT = ⎜ x + ⎟ + ⎜ ⎜ 2 y ⎟ + ⎜ − x − 2 ⎟ + ⎜ 2 z ⎟ ≥ ⎜ 2 − 2 ⎟ + ⎜ 2 y + 2 z ⎟ =VP ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠Thực ra thì kiểu làm này cũng như kiểu véctơ thôi, nhưng nhìn đỡ sốc hơn. ( khôn học Đại dại học Hìnhmà ….) I. ỨNG DỤNG CHỨNG MINH BĐT VÀ BÀI TOÁN TÌM MAX, MIN . Ví dụ : Cho a, b, c > 0 : ab+bc+ca =abc . Chứng minh rằng : b 2 + 2a 2 c 2 + 2b 2 a 2 + 2c 2 + + ≥ 3 (2) ab bc caLời giải : Áp dụng BĐT Mincôpxki : 2 ⎛1 1⎞ ⎛ 2 2⎞ 2 1 2 1 2 1 2 1 2VT (2) = + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 ≥ ⎜ + ⎟ +⎜ + ⎟ + 2+ 2 ≥ ⎝a b⎠ ⎜ b c ⎟ 2 a b b c c a ⎝ ⎠ c a 2 ⎛1 1 1⎞ ⎛ 2 2⎞ 2 2 ⎛1 1 1⎞≥ ⎜ + + ⎟ +⎜ ⎜ b + + ⎟ = 3 ⎜ + + ⎟ = 3 ...