Bất đẳng thức xoay vòng phần 6

Tham khảo tài liệu bất đẳng thức xoay vòng phần 6, tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bất đẳng thức xoay vòng phần 6 www.VNMATH.comChương 2M t d ng b t đ ng th c xoay vòng nQuy ư c trong bài vi t .v Đ th ng nh t ký hi u trong bài vi t thì ta quy ư c cách vi t như sau:a1 , · · · , an ⇔ a1 , a2 , · · · , ai , · · · , an ; i ∈ (1, n) ha1 a2 + · · · + a1 an ⇔ a1 a2 + · · · + a1 ai + · · · + a1 an ; i ∈ (1, n) 4a1 a2 + · · · + an−1 an ⇔ a1 a2 + · · · + a1 an + · · · + ai ai+1 + · · · + ai an + · · · + an−1 an 2a2 + · · · + a2 ⇔ a2 + a2 + · · · + a2 · · · + a2 ; (i ∈ 1, n) 1 n 1 2 i n c(a2 + a2 ) + · · · + (a2 + a2 ) ⇔ (a2 + a2 ) + · · · + (a2 + a2 ) + · · · + (a2 + ai+1 ) + · · · + 1 2 n−1 n 1 2 1 n i o(a2 + a2 ) + · · · + (an−1 + a2 ) i n n(a1 + · · · + an )2 ⇔ (a1 + a2 + · · · + ai + · · · + an )2 ; (i ∈ 1, n) ih u2.1 Các trư ng h p đơn gi n V2.1.1 Trư ng h p 3 s n = 3Bài 1 Cho 3 s không âm a1 , a2 , a3 và s th c α > 2. Ch ng minh r ng: a1 a2 a3 3 A= + + ≥ a1 + αa2 a2 + αa3 a3 + αa1 1+α Ch ng minh. a1 a2 a3 Ta có: A = + + a1 + αa2 a2 + αa3 a3 + αa1 41 www.VNMATH.comKhóa lu n t t nghi p toán sơ c p Sư Ph m Toán 48 a2 1 a2 a2⇔A= + 2 2 + 2 3 a2 + αa1 a2 a2 + αa2 a3 a3 + αa1 a3 1⇒ I[(a1 + αa1 a2 ) + (a2 + αa2 a3 ) + (a2 + αa1 a3 )] ≥ (a1 + a2 + a3 )2 2 2 3 (Theo b t đ ng th c Bunhiacopxki đ i v i 3 c p s ) (a1 + a2 + a3 )2⇒A≥ 2 a1 + αa1 a2 + a2 + αa2 a3 + a2 + αa1 a3 2 3 (a1 + a2 + a3 )2⇔A≥ (a1 + a2 + a3 )2 + (α − 2)(a1 a2 + a2 a3 + a1 a3 ) (a1 + a2 + a3 )2⇔A≥ (a1 + a2 + a3 )2 + (α − 2) 1 (a1 + a2 + a3 )2 3 1 3 3⇔A≥ 1 = = 1 + 3 (α − 2) 3 + (α − 2) 1+α D u ” = ” x y ra khi a1 = a2 = a3 n .v2.1.2 Trư ng h p 4 s n = 4Bài 2 h Cho 4 s không âm a1 , a2 , a3 , a4 và s th c α > 2. Ch ng minh r ng: 4 a1 a2 a3B= + + a1 + α(2a2 + a3 ) a2 + α(2a3 + a4 ) a3 + α(2a4 + a1 ) 2 a4 4 + ≥ a4 + α(2a1 + a2 ) 1 + 3α c Ch ng minh. o Ta có: a1 a2 a3B= + + ih a1 + α(2a2 + a3 ) a2 + α(2a3 + a4 ) a3 + α(2a4 + a1 ) a4 + a4 + α(2a1 + a2 ) u a21 a2 2⇔B= 2 + 2 a1 + α(2a1 a2 + a1 a3 ) a2 + α(2a2 a3 + a2 a4 ) V a2 3 a24 + 2 + 2 a3 + α(2a3 a4 + a3 a1 ) a4 + α(2a4 a1 + a4 a2 )⇒ B{[a2 + α(2a1 a2 + a1 a3 )] + [a2 + α(2a2 a3 + a2 a4 )] 1 2+[a2 + α(2a3 a4 + a3 a1 )] + [a2 + α(2a4 a1 + a4 a2 )]} ≥ (a1 + a2 + a3 + a4 )2 3 4 (Theo b t đ ng th c Bunhiacopxki đ i v i 4 c p s ) (a1 + a2 + a3 + a4 )2⇒B ≥ 2 [a1 + α(2a1 a2 + a1 a3 )] + · · · + [a2 + α(2a4 a1 + a4 a2 )] 4 (a1 + a2 + a3 + a4 )2⇔B ≥ (a1 + a2 + a3 + a4 )2 + (2α − 2)(a1 a2 + · · · + a3 a4 ) (a1 + a2 ...