Bất phương trình vô tỷ - Nguyễn Minh Tiến

Bất phương trình vô tỷ của tác giả Nguyễn Minh Tiến sau đây gồm các bài toán và dạng toán về bất phương trình vô tỷ, cách giải và hướng dẫn giải chi tiết nhằm giúp các em học sinh học tập và ôn thi hiệu quả.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bất phương trình vô tỷ - Nguyễn Minh TiếnMaths287B T PHƯƠNG TRÌNH VÔ TPart 1 : Các bài toán√ √ Bài 1 : Gi i b t phương trình (x − 1) x2 − 2x + 5 − 4x x2 + 1 ≥ 2 (x + 1) L i gi i tham kh o : √ √ (x − 1) x2 − 2x + 5 − 4x x2 + 1 ≥ 2 (x + 1) ⇔ (x + 1) 2 + ⇔ (x + 1) 2 + √ √ √ x2 − 2x + 5 + 2x 2 x2 + 1 − x2 − 2x + 5 ≤ 0√ 2x (4x2 + 4 − x2 + 2x − 5) √ x2 − 2x + 5 + √ ≤0 2 x2 + 1 + x2 − 2x + 5 √ 2x (x + 1) (3x − 1) √ ≤0 ⇔ (x + 1) 2 + x2 − 2x + 5 + √ 2 x2 + 1 + x2 − 2x + 5 √ 2x (3x − 1) √ ⇔ (x + 1) 2 + x2 − 2x + 5 + √ ≤0 2 x2 + 1 + x2 − 2x + 5 √ √ 4 x2 + 1 + 2 x2 − 2x + 5 + 2 (x2 + 1) (x2 − 2x + 5) + (7x2 − 4x + 5) √ √ ≤0 ⇔ (x + 1) 2 x2 + 1 + x2 − 2x + 5 4 4 31 31 Có 7x2 − 4x + 5 = 7 x2 − x + + ≥ nên bi u th c trong ngo c luôn > 0. 7 49 7 7 Do đó b t phương trình ⇔ x + 1 ≤ 0 ⇔ x ≤ −1 V y t p nghi m c a b t phương trình là T = (−∞; −1] Bài 2 : Gi i b t phương trình L i gi i tham kh o : Đi u ki n : x ≥ bpt ⇔ ⇔√ 2 3 √ x + 2 + x2 − x + 2 ≤ √ 3x − 2√ √ x + 2 − 3x − 2 + x2 − x − 2 ≤ 0−2 (x − 2) √ + (x − 2) (x + 1) ≤ 0 x + 2 + 3x − 2 −2 √ +x+1 ≤0 x + 2 + 3x − 2⇔ (x − 2) √—————— Nguy n Minh Ti n —————–1Maths287B T PHƯƠNG TRÌNH VÔ T1 3 √ +√ −2 3x − 2 x+2 √ √ + x + 1 ⇒ f (x) = √ +1>0 Xét f (x) = √ x + 2 + 3x − 2 x + 2 + 3x − 2 ⇒ f (x) ≥ f 2 > 0 3 Do đó b t phương trình ⇔ x − 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 2 V y t p nghi m c a b t phương trình là T = 2 ;2 3√ √ Bài 3 : Gi i b t phương trình 4 x + 1 + 2 2x + 3 ≤ (x − 1) (x2 − 2) L i gi i tham kh o : Đi u ki n : x ≥ −1 Nh n th y x = - 1 là m t nghi m c a b t phương trình Xét x > - 1 ta có b t phương trình tương đương v i √ √ 4 x + 1 − 2 + 2 2x + 3 − 3 ≤ x3 − x2 − 2x − 12 4 (x − 3) 4 (x − 3) +√ ≤ (x − 3) (x2 + 2x + 4) ⇔√ x+1+2 2x + 3 + 3 4 4 ⇔ (x − 3) √ +√ − (x + 1)2 − 3 x+1+2 2x + 3 + 3 Vì x > - 1 nên Do đó √ √ x + 1 > 0 và √ 2x + 3 > 1 ⇒ √≤04 4 +√ 0—————— Nguy n Minh Ti n —————–2Maths287 x (x + 2) √ ≥1⇔ (x + 1)3 − xB T PHƯƠNG TRÌNH VÔ T √x (x + 2) ≥(x + 1)3 −x⇔ x2 + 2x ≥ x3 + 3x2 + 4x + 1 − 2 (x + 1) x (x + 1) √ ⇔ x3 + 2x2 + 2x + 1 − 2 (x + 1) x2 + x ≤ 0 √ ⇔ (x + 1) x2 + x + 1 − 2 x2 + x ≤ 0 √ √ 2 x2 + x − 1 ≤ 0 ⇔ x2 + x + 1 − 2 x2 + x ≤ 0 ⇔ √ √ −1 ± 5 ⇔ x2 + x = 1 ⇔ x = 2 K t h p v i đi u ki n ta có nghi m c a b t phương trình là x =√5−1 21 2 1 Bài 5 : Gi i b t phương trình √ − x≥1 −√ −x − 1 3 x+2 L i gi i tham kh o : Đi u ki n : −2 < x < −1 (∗) √ √ 1 1 2 ≥ x+2 − −x − 1 bpt ⇔ 3 √ −√ −x − 1 x+2 √ √ √ √ ⇔ 3 ≥ x + 2 −x − 1 x + 2 − −x − 1 Đ ta= √ √ √ √ 1 − a2 x + 2 − −x − 1 ⇒ x + 2. −x − 1 = 22a − a3 Ta đư c b t phương trình ≤ 3 ⇔ a3 − a + 6 ≥ 0 ⇔ (a + 2) (a2 − 2a + 3) ≥ 0 ⇔ 2 a ≥ −2 √ √ √ √ √ ⇒ x + 2 − −x − 1 ≥ −2 ⇔ x + 2 + 2 ≥ −x − 1 ⇔ x + 6 + 4 x + 2 ≥ −x − 1 √ ⇔ 4 x + 2 ≥ − (2x + 7) (1) (1) luôn đúng v i đi u ki n (*). V y t p nghi m c a b t phương trình là T = (−2; −1) 1 x+1 √ Bài 6 : Gi i b t phương trình √ >x− 2 x+1− 3−x L i gi i tham kh o : Đi u ki n : x ∈ [−1; 3] {1} √—————— Nguy n Minh Ti n —————–3Maths287 √ bpt ⇔ x+1 √ x+1+ 2 (x − 1) √ 3−xB T PHƯƠNG TRÌNH VÔ T √ 1 x + 1 + −x2 + 2x + 3 1 >x− ⇔ >x− (∗) 2 2 (x − 1) 2Trư ng h p 1 : 1 < x ≤ 3 (1) √ (∗) ⇔ x + 1 + −x2 + 2x + 3 > 2x2 − 3x + 1 √ ⇔ 2 (−x2 + 2x + 3) + −x2 + 2x + 3 − 6 > 0 √ √ √ 3 2− 7 2+ 7 ⇔ −x2 + 2x + 3 > ⇔ x ∈ ; 2 2 2 K t h p v i (1) ta đư c x ∈ √ 2+ 7 1; 2Trư ng h p 2 : −1 < x < 1 (2) √ (∗) ⇔ x + 1 + −x2 + 2x + 3 < 2x2 − 3x + 1 √ ⇔ 2 (−x2 + 2x + 3) + −x2 + 2x + 3 − 6 < 0 √ √ 2− 7 3 2 + 2x + 3 < ⇔ 0 ≤ −x ⇔ x ∈ −1; 2 2 √ 2− 7 K t h p v i (2) ta đư c x ∈ −1; 2∪√ 2+ 7 ;3 2√ 2− 7 V y t p nghi m c a b t phương trình là T = −1; 2∪√ 2+ 7 1; 2√ 6x2 − 2 (3x + 1) x2 − 1 + 3x − 6 Bài 7 : Gi i b t phương trình ≤0 √ √ x + 1 − x − 1 − 2 − x − 2 (x2 + 2) L i gi i tham kh o : Đi u ki n : 1 ≤ x ≤ 2 Ta có (x + 1)2 = x2 + 2x + 1 ≤ x2 + x2 + 1 + 1 ≤ 2x2 + 2 < 2x2 + 4 √ √ ⇒ x + 1 < 2 (x2 + 2) ⇒ x + 1 − x − 1 − 2 − x − 2 (x2 + 2) < 0 ∀x ∈ [1; 2]—————— Nguy n Minh Ti n —————–4Maths287 bpt ⇔ 6x2 − 2 (3x + 1) √B T PHƯƠNG TRÌNH VÔ Tx2 − 1 + 3x − 6 ≥ 0 √ ⇔ 4 (x2 − 1) − 2 (3x + 1) x2 − 1 + 2x2 + 3x − 2 ≥ 0 x − 1 ≥ 0 (1) 2 √ x Xét 1 ≤ x ≤ 2 ta có x2 − 1 − − 1 ≤ 3 − 2 < 0 2 √ 5 1 Do đó b t phương trình ⇔ x2 − 1 − x + 2 ≤ 0 ⇔ 1 ≤ x ≤ 4 ⇔ x2 − 1 − x + x2 − 1 − V y t p nghi m c a b t phương trình là T = 1; 5 4 √ 1 2 √ √√ 5 − 4x ≥ Bài 8 : Gi i b t phương trình 2 x3 + √ x L i gi i tham kh o : Đi u ki n : x > 0 √ x2 − 2x + 10 √ ⇔ 2 (x2 − 2x + 10) − x2 − 2x + 10 − 15 ≥ 0 √ ⇔ x2 − 2x + 10 ≥ 3 bpt ⇔ 2x2 − 4x + 5 ≥ ⇔ x2 − 2x + 10 ≥ 9x+10 −2 xb t phương trình cu i luôn đúng. V y t p nghi m c a b t phương trình là T = (0; +∞) √ Bài 9 : Gi i b t phương trình 3 2x2 − x x2 + 3 < 2 (1 − x4 ) L i gi i tham kh o : bpt ⇔ 2 (x4 + 3x2 ) − 3x x2 (x2 + 3) − 2 < 0 √ Đ t x x3 + 3 = t ⇒ x4 + 3x2 = t2 √ 1 1 Khi đó bpt ⇒ 2t2 − 3t − 2 < 0 ⇔ − < t < 2 ⇔ − < x x2 + ...