Biện pháp khắc phục sai lầm thường gặp của sinh viên khi sử dụng các phép chứng minh toán học

Các phép chứng minh phân tích, chứng minh tổng hợp, chứng minh phản chứng và chứng minh loại dần là những phép chứng minh thường được sử dụng khi giải các bài toán ở trường phổ thông. Tuy nhiên, khi sử dụng những phép chứng minh này trong quá trình giải toán, sinh viên thường mắc phải một số sai lầm. Bài viết phân tích một số sai lầm thường gặp của sinh viên khi sử dụng các phép chứng minh toán học, nguyên nhân dẫn đến sai lầm và biện pháp khắc phục những sai lầm đó.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Biện pháp khắc phục sai lầm thường gặp của sinh viên khi sử dụng các phép chứng minh toán học JOURNAL OF SCIENCE OF HNUE Interdisciplinary Sci., 2014, Vol. 59, No. 6, pp. 10-19 BIỆN PHÁP KHẮC PHỤC SAI LẦM THƯỜNG GẶP CỦA SINH VIÊN KHI SỬ DỤNG CÁC PHÉP CHỨNG MINH TOÁN HỌC Đào Thị Hoa Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 Tóm tắt. Các phép chứng minh phân tích, chứng minh tổng hợp, chứng minh phản chứng và chứng minh loại dần là những phép chứng minh thường được sử dụng khi giải các bài toán ở trường phổ thông. Tuy nhiên, khi sử dụng những phép chứng minh này trong quá trình giải toán, sinh viên thường mắc phải một số sai lầm. Bài báo phân tích một số sai lầm thường gặp của sinh viên khi sử dụng các phép chứng minh toán học, nguyên nhân dẫn đến sai lầm và biện pháp khắc phục những sai lầm đó. Từ khóa: Phép chứng minh, sai lầm, bài toán, giải toán.1. Mở đầu Trong dạy học toán ở nhà trường phổ thông, việc hướng dẫn học sinh tìm ra lời giảicủa bài toán và trình bày lời giải bài toán là một công việc rất thường xuyên và hết sứccần thiết của mỗi giáo viên toán. Với dạng toán chứng minh, thầy và trò thường xuyên sửdụng các phép chứng minh toán học như phép chứng minh phân tích, phép chứng minhtổng hợp, phép chứng minh phản chứng, phép chứng minh loại dần, . . . Như vậy, nhữngtri thức và kĩ năng, kĩ xảo về các phép chứng minh toán học là một trong những hành trangquan trọng mà mỗi giáo viên toán tương lai cần phải được trang bị và rèn luyện (Có thểtìm hiểu về các phép chứng minh toán học trong nhiều tài liệu như trong [2, 4, 5]). Trong quá trình dạy hoc các phép chứng minh toán học, khi kiểm tra hiểu biết củasinh viên về các phép chứng minh này thông qua các bài tập, chúng tôi nhận thấy sinhviên thường mắc phải một số sai lầm không đáng có. Vấn đề đặt ra là làm thế nào để hạnchế tối đa những sai lầm đó? Như vậy, một nghiên cứu cụ thể nhằm khắc phục sai lầm củasinh viên khi sử dụng các phép chứng minh toán học là cần thiết và có ý nghĩa, góp phầnnâng cao năng lực chuyên môn nghiệp vụ cho sinh viên khoa Toán - Đại học Sư phạm.Ngày nhận bài: 12/2/2014. Ngày nhận đăng: 15/5/2014.Tác giả liên lạc: Đào Thị Hoa, e-mail: daothihoa.sp2@moet.edu.vn10Biện pháp khắc phục sai lầm thường gặp của sinh viên khi sử dụng các phép chứng minh toán học2. Nội dung nghiên cứu2.1. Sai lầm khi sử dụng phép chứng minh phân tích và tổng hợp Như ta đã biết, phân tích và tổng hợp là hai trong các phép chứng minh trực tiếpthường được sử dụng trong dạy học toán ở phổ thông. Về mặt lí thuyết, hai phương phápchứng minh này rất rõ ràng và dễ hiểu. Mặc dù vậy, sinh viên vẫn mắc phải một số sailầm. Những sai lầm này sẽ được phân tích thông qua ví dụ cụ thể sau: Ví dụ: Cho bài toán sau: “Chứng minh rằng nếu ba góc của tam giác ABC thỏamãn hệ thức sin A = 2 sin B cos C thì tam giác ABC cân tại A”. a) Trình bày một lời giải của bài toán trên. b) Trình bày những hiểu biết của mình về phép chứng minh đã sử dụng để giải bàitoán trên. Trong bài toán trên, ở phần a của đề bài ta có: Mệnh đề đã cho là “ba góc của tamgiác ABC thỏa mãn hệ thức sin A = 2 sin B cos C”, mệnh đề cần chứng minh là “tamgiác ABC cân tại A”. Để trình bày phần a sinh viên có nhiều cách khác nhau, còn phần blại phụ thuộc vào phần a. Với đề bài này, sinh viên thường mắc phải những sai lầm trong lời giải như sau: Lời giải 1: a) Vì tam giác ABC cân tại A ⇒ B b =C b ⇒A b = π − 2B b ⇒ sin A = sin(π −2B) ⇒ sin A = sin 2B ⇒ sin A = 2 sin B cos B ⇒ sin A = 2 sin B cos C (B b=C b theotrên). Mà sin A = 2 sin B cos C là mệnh đề đã cho nên ta có điều phải chứng minh. b) Phép chứng minh đã sử dụng để giải bài toán trên là phép chứng minh phân tíchđi xuống. Phân tích lời giải: Ở lời giải này, trong phần a, sinh viên sử dụng phép phân tích đixuống, tuy nhiên trong trường hợp này mệnh đề đã cho “sin A = 2 sin B cos C” là mệnhđề đúng nên chưa thể kết luận gì về mệnh đề cần chứng minh. Phép phân tích đi xuốngtrong trường hợp này không phải là là phép chứng minh (sai lầm về luận chứng), do đóphần trình bày trên không phải là lời giải đúng của bài toán. Như vậy, ở lời giải này cảphần a và phần b đều sai. Lời giải 2: a) Để chứng minh tam giác ABC cân tại A, ta chứng minh B b = C.b Để chứngminh B b = C,b ta chứng minh A b = π − 2B. b Để chứng minh A b = π − 2B,b ta chứng minhsin A = sin(π−2B). Để chứng minh sin A = sin(π−2B), ta chứng minh sin A = sin 2B.Để chứng minh sin A = sin 2B, ta chứng minh sin A = 2 sin B cos B. Để chứng minhsin A = 2 sin B cos B, ta chứng minh sin A = 2 sin B cos C (B b = C b theo trên). Màsin A = 2 sin B cos C là mệnh đề đã biết nên ta có điều phải chứng minh. b) Phép chứng minh đã s ...