Biểu diễn số nguyên dương dưới dạng tổng các số chính phương

Bài viết cung cấp cho bạn một số kiến thức về biểu diễn một số nguyên dương dưới dạng tổng của hai số chính phương, biểu diễn một số nguyên dương dưới dạng tổng của bốn số chính phương và biểu diễn một số nguyên dương dưới dạng tổng của ba số chính phương. Mời các bạn tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Biểu diễn số nguyên dương dưới dạng tổng các số chính phương BIỂU DIỄN SỐ NGUYÊN DƯƠNG DƯỚI DẠNG TỔNG CÁC SỐ CHÍNH PHƯƠNG Hoàng Cao Phong Chuyên đề nghiên cứu bài toán Waring trong trường hợp k D 2. Trong chuyên đề, ta sẽ chứng minh g.2/ D 4. Để làm được điều đó, ta chỉ cần chỉ ra có một số số nguyên dương không thể biểu diễn dưới đước dạng tổng hai số chính phương, một số số không thể biểu diễn được dưới dạng tổng ba số chính phương, nhưng mọi số nguyên dương đều biểu diễn được dưới dạng tổng của bốn số chính phương. Ngoài ra, chúng ta sẽ đi tìm đáp án cho câu hỏi: Những số nguyên dương nào biểu diễn được dưới dạng tổng hai số chính phương và ba số chính phương. Cuối cùng, chúng ta sẽ xem xét bài toán Waring tổng quát và các vấn đề mở rộng cho hàm g.k/.1. Giới thiệuViệc tìm cách biểu diễn một số nguyên dương dưới dạng tổng các số chính phương được rấtnhiều đối tượng quan tâm, từ những người yêu toán cho đến những nhà toán học.Vào năm 1632, Albert Girard là người đầu tiên đưa ra nhận định: một số nguyên tố lẻ đồng dưvới 1 mod 4 là tổng của hai số chính phương, điều này đã được công bố vào năm 1634, sau cáichết của ông. Fermat được cho là người đầu tiên đưa ra lời giải cho bài toán, và nó được đưa vàomột lá thư của ông gửi Marin Mersenne vào ngày 25 tháng 12 năm 1640.Tuy nhiên, trong bức thư, Fermat không đưa ra chứng minh cho khẳng định của mình. Lời giảiđầu tiên được tìm ra bởi Euler vào năm 1747, khi ông 40 tuổi. Một cách tự nhiên, Định lí Fermatvề tổng hai số chính phương dẫn đến câu hỏi: “Tìm giá trị nhỏ nhất của n sao cho mọi số nguyêndương đều có thể biểu diễn bằng tổng của không quá n số chính phương. Đây là trường hợpriêng của bài toán Waring khi k D 2.Trong chuyên đề, ta sẽ chứng minh n D 4 và chỉ ra những số nguyên dương nào có thể biểu diễndưới dạng tổng của hai hoặc ba số chính phương.Trong mục 2, ta chứng minh một số nguyên tố có thể biểu diễn dưới dạng tổng của hai số chínhphương khi và chỉ khi nó không đồng dư với 3 mod 4 và trả lời câu hỏi: Những số nguyên dươngnào có thể biểu diễn được dưới dạng tổng của hai số chính phương?Trong mục 3, ta sẽ chứng minh mọi số nguyên tố đều có thể biểu diễn được dưới dạng tổng củabốn số chính phương qua đó chứng minh mọi số nguyên dương đều có thể biểu diễn được dướidạng tổng của bốn số chính phương. 125 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016Trong mục 4, ta chứng minh một số nguyên dương có thể biểu diễn được dưới dạng tổng của basố chính phương khi và chỉ khi nó có dạng 4a .8n C 7/. Mục này sẽ đề cập đến hình học số họcvà định lí Minkowski.Trong mục 5, ta sẽ đưa ra thêm thông tin và bình luận xoay quanh bài toán Waring tổng quát2. Biểu diễn một số nguyên dương dưới dạng tổng của hai số chính phươngTrước hết, chúng ta quan tâm đến bài toán : “Những số nguyên tố nào có thể biểu diễn được dướidạng tổng của hai số chính phương?”, đáp án bài toán dẫn đến định lí mang tên Fermat về tổnghai số chính phương.Bổ đề 2.1. p là một số nguyên tố cho trước. Nếu p 3 .mod 4/ và x 2 C y 2 chia hết cho p thìx chia hết cho p và y chia hết cho p. p 1Chứng minh. Giả sử .x; p/ D .y; p/ D 1, x 2 y 2 .mod p/ dẫn đến x p 1 . 1/ 2 yp 1 .mod p/ p 1suy ra . 1/ 2 1 .mod p/, suy ra 1 1 .mod p/ dẫn đến điều vô lí.Định lý 2.1 (Định lí Fermat về tổng hai số chính phương). Số nguyên tố p có thể biểu diễnđược dưới dạng tổng hai số chính phương khi và chỉ khi p 6 3 .mod 4/.Chứng minh. Giả sử p D 4k C 3 biểu diễn được dưới dạng tổng hai số chính phương x; y. Theobổ đề 2, x chia hết cho p và y chia hết cho p. Suy ra p chia hết cho p 2 . Vô lý.Nếu p D 2 thì p D 12 C 12 .Nếu p D 4k C 1 thì 1 là số chính phương modulo p ([5]), tồn tại a 2 N thỏa mãn a2 1 .mod p/. p Đặt q D p , xét .1 C q/2 số có dạng x C ay với x D 0; 1; : : : ; q và y D 0; 1; : : : ; q.Do .q C 1/2 > p, tồn tại .x1 ; y1 / ¤ .x2 ; y2 / thỏa mãn x1 C ay1 x2 C ay2 .mod p/ nên.x1 x2 /2 .y1 y2 /2 .mod p/. p pVì .x1 x2 / q < p và .y1 y2 / q < p, ta có được .x1 x2 /2 C .y1 y2 /2 D p.Định lí 2.1 đã được chứng minh.Bây giờ, chúng ta xem xét : ”Những số tự nhiên nào có thể biểu diễn được dưới dạng tổng củahai số chính phương?.Bổ đề 2.2. Tích của hai số, với mỗi số là tổng của một số chính phương, cũng là số chính phương.Chứng minh. Giả sử m D a2 C b 2 và n D c 2 C d 2 , suy ra mn D .ac C bd /2 C .ad bc/2 Y YĐịnh lý 2.2. Đặt n D 2r pisi qit i với pi 1 .mod 4/ và qi 3 .mod 4/, n có thể biểudiễ ...