Bộ tài liệu ôn thi Kĩ sư tài năng 2011: Hàm liên tục - Trần Vũ Trung

"Bộ tài liệu ôn thi Kĩ sư tài năng 2011" bao gồm những bài viết theo chủ đề và một số đề thi được biên soạn phù hợp với nội dung đề thi tuyển sinh môn Toán và chương trình đào tạo KSTN và KSCLC của trường Đại học Bách khoa Hà Nội.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bộ tài liệu ôn thi Kĩ sư tài năng 2011: Hàm liên tục - Trần Vũ Trungt rang 8Tr n Vũ Trung KSTN ðKTð – K55Hàm liên t cð nh nghĩa 1: Hàm s y = f ( x ) v i mi n xác ñ nh D ñư c g i là liên t c t i x0 n u th a mãn ñ ng th i ba ñi u ki n sau: i. Hàm y = f ( x ) xác ñ nh t i ñi m x0 , nghĩa là x0 ∈ D . ii. T n t i lim f ( x) .x → x0 x → x0iii.lim f ( x) = f ( x0 )ð nh nghĩa 2: (theo ngôn ng ε - δ ) Hàm s y = f ( x) v i mi n xác ñ nh D liên t c t i x0 khi và ch khi∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ D, x − x0 < δ ⇒ f ( x) − f ( x0 ) < εHàm s liên t c trong kho ng - Hàm s f ( x) ñư c g i là liên t c trong kho ng m ( a, b ) n u nó liên t c t i m i ñi m c a kho ng ñó. - N u f ( x) xác ñ nh t i x = a và lim+ f ( x) = f (a ) , ta nói f ( x) liên t c bên ph it i ñi m x = a . N u f ( x) xác ñ nh t i x = b và lim f ( x) = f (a ) , ta nói f ( x) liên t c bên trái t i −x→añi m x = b .x →bN u f ( x) liên t c t i m i ñi m c a kho ng m f ( x) liên t c trong kho ng ñóng (ño n) [a, b] .( a, b ) và ti hai ñi m biên, ta nóiCác ñ nh lý:1) T ng, hi u và tích c a m t s h u h n các hàm liên t c trong mi n nào ñó là hàm liên t c trong mi n ñó. 2) Thương c a hai hàm s liên t c trong mi n nào ñó là hàm s liên t c t i m i ñi m c a mi n ñó mà m u s khác 0. 3) N u f ( x) liên t c trên kho ng m hàm ϕ ( x) liên t c trong kho ng m (c, d ) , thì hàm h p ϕ ( f ( x) ) liên t c trong( a, b )và mi n giá tr là kho ng m( c, d ) ,kho ng m( a, b ) .4) T t c các hàm sơ c p (ña th c, lũy th a, lô-ga) ñ u liên t c t i m i ñi m trên mi n xác ñ nh c a chúng.1Tr n Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 5) ð nh lý Weierstrass 1: N u f ( x) liên t c trong ño n [a, b] thì nó b ch n trong ño n ñó, nghĩa là:∃M > 0, ∀x ∈ [a, b] :f ( x) < M6) ð nh lý Weierstrass 2: N u f ( x) liên t c trong ño n [a, b] thì nó ñ t GTLN và GTNN trong ño n ñó, nghĩa là: ∃x1 , x2 ∈ [a, b] sao cho f ( x1 ) = max f ( x) và f ( x2 ) = min f ( x) .[a ,b ] [a ,b ]7) ð nh lý Bolzano – Cauchy N u f ( x) liên t c trong ño n [a, b] và A = min f ( x) , B = max f ( x) thì v i m i[a ,b ] [a ,b ]C mà A ≤ C ≤ B , t n t i ñi m c ∈ [a, b] sao cho f (c) = C .H qu : N u f ( x) ñ i d u trong ño n [a, b] thì ∃c ∈ [a, b] sao cho f (c) = 0 .Bài toán 1. Gi s hàm f ( x) liên t c trên ℝ , nh n các giá tr khác d u. Ch ng minh r ng tìm ñư c m t c p s c ng a, b, c (a < b < c ) sao cho f (a ) + f (b) + f (c ) = 0 . L i gi i. Theo gi thi t, t n t i ñi m x mà f ( x) > 0 , do f ( x) liên t c nên hàm nh n giá tr dương trong lân c n ñ nh c a ñi m này. Khi ñó, ta tìm ñư c m t c p s c ng a1 , b1 , c1 mà f (a1 ), f (b1 ), f (c1 ) ñ u dương.Tương t , t n t i m t c p s c ng a2 , b2 , c2 mà f (a2 ), f (b2 ), f (c2 ) ñ u âm. V i tham s t , xét c p s c ng sau: a(t ) = a1 (1 − t ) + a2tb(t ) = b1 (1 − t ) + b2t c(t ) = c1 (1 − t ) + c2tHàm s F (t ) = f ( a (t ) ) + f ( b(t ) ) + f ( c(t ) ) liên t c theo t , F (0) > 0 và F (1) < 0 .Do ñó, t n t i t0 sao cho F (t0 ) = 0 , khi ñó c p s c ng a(t0 ), b(t0 ), c(t0 ) là m t c p s c ng th a mãn.Bài toán 2. Cho f ( x ), g ( x ) là hai hàm liên t c, tu n hoàn trên ℝ . Bi t lim ( f ( x) − g ( x) ) = 0 .x →+∞Ch ng minh r ng f ( x) ≡ g ( x) . Nh n xét. Quan sát ñ bài ta nghĩ ngay ñ n hàm h( x ) = f ( x) − g ( x ) . N u h( x) tu n hoàn thì t lim h( x ) = 0 ta suy ra ngay h( x) ≡ 0 , ñó là tính ch t m u ch t c a bài toán.x →+∞2Tr n Vũ Trung KSTN ðKTð – K55 Như v y, khó khăn ch y u là vi c ch ng minh f ( x), g ( x) có cùng chu kỳ. Ta “l i d ng”gi i h nvô cùng lim ( f ( x) − g ( x) ) = 0 và tính tu n hoàn ñ c l p c a m i hàm ñ dùngx →+∞ñư c nh n xét v a nêu. L i gi i. Trư c h t, ta c n ph i ch ng minh hai hàm ñã cho có cùng chu kỳ. Gi s hàm f có chu kỳ T .Khi x → +∞ , f ( x) − g ( x) → 0 và f ( x + T ) − g ( x + T ) → 0 . Tr theo v k t h p v i f ( x + T ) = f ( x) ñư c:h* ( x) = g ( x + T ) − g ( x) → 0 khi x → +∞ .Do g liên t c, tu n hoàn nên h* liên t c, tu n hoàn, ti n t i 0 khi x → +∞ , vì v y h* ( x) ≡ 0 , ch ng t g cũng tu n hoàn chu kỳ T . Xét hàm h( x) = f ( x) − g ( x) liên t c, tu n hoàn, ti n t i 0 khi x → +∞ nên h( x) ≡ 0 . T ñó suy ra ñpcm.Các bài toán v hàm liên t c trong kho ng ñóng (trên ño n) luôn g n li n v i 2 ñ nh lý Weierstrass và ñ nh lý Bolzano-Cauchy (ñã trình bày trên).Bài toán 3.x x Tìm t t c các hàm liên t c f : ℝ → ℝ th a mãn: 3 f ( x ) = f   + f   (*), ∀x ∈ ℝ . 3 4 L i gi i. Xét s th c a ≥ 0 tùy ý.Hàm f liên t c trên ño n [ −a, a ] nên theo ñ nh lý Weierstrass 2, t n t i x1 , x2 ∈ [ −a, a ][ − a ,a ] [− a ,a]sao cho f ( x1 ) = M = max f ( x) , f ( x2 ) = m = min f ( x) . Thay x = x1 vào (*) ta có:x  3M = 3 f ( x1 ) = f  1  + f 3 Thay x = x2 vào (*) ta có: x  3m = 3 f ( x2 ) = f  1  + 3 V y f ( x) = 0 , ∀x ∈ ℝ . x1    ≤ 2M 4x1 x1    do , ∈ [ −a, a ]  , suy ra M ≤ 0 . 3 4  x x x ...