Bộ tài liệu ôn thi Kĩ sư tài năng 2011: Lời giải đề thi KSTN các năm 2008, 2009, 2010 - Trần Vũ Trung

"Bộ tài liệu ôn thi Kĩ sư tài năng 2011" bao gồm những bài viết theo chủ đề và một số đề thi được biên soạn phù hợp với nội dung đề thi tuyển sinh môn Toán và chương trình đào tạo KSTN và KSCLC của trường Đại học Bách khoa Hà Nội.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bộ tài liệu ôn thi Kĩ sư tài năng 2011: Lời giải đề thi KSTN các năm 2008, 2009, 2010 - Trần Vũ TrungTr n Vũ TrungTài li u này g m: - ð thi tuy n sinh chương trình KSTN môn toán 2008 – 2010 - 12 ñ t ôn t p - Hư ng d n gi i – ðáp sTr n Vũ Trung KSTN ðKTð – K55“B tài li u ôn thi Kĩ sư tài năng 2011” bao g m nh ng bài vi t theo ch ñ và m t s ñ thi ñư c biên so n phù h p v i n i dung ñ thi tuy n sinh môn toán vào chương trình ñào t o KSTN & KSCLC c a trư ng ð i h c Bách khoa Hà N i. B tài li u g m: 1) Hàm liên t c 2) Hàm kh vi 3) Dãy s 4) Tích phân 5) L i gi i ñ thi KSTN các năm 2008, 2009, 2010 6) M t s ñ luy n t p (12 ñ ) (Tài li u tham kh o khác ñi kèm: 0.1. ð thi và ñáp án môn toán KSTN 1999 – 2007 (Vũ H u Ti p). 0.2. ð thi và ñáp án môn gi i tích kì thi Olympic Sinh viên các năm.) Các bài vi t ñư c trình bày v i m c ñích h th ng hóa m t cách tr ng tâm các lí thuy t và phương pháp gi i toán gi i tích b c ph thông. V i các bài toán ví d nhi u d ng bài thư ng xu t hi n trong ñ thi KSTN các năm trư c ñây, bài vi t mong mu n ñem ñ n m t s ñ nh hình cơ b n v c u trúc ñ thi cũng như nh ng n i dung ki n th c c n thi t mà các b n c n ôn t p, chu n b cho kì thi s p t i. Các bài vi t không ñơn thu n ch là t p h p bài toán và l i gi i mà còn cung c p m t s nh n xét quan tr ng ñ ti p c n l i gi i b ng cách ñ t v n ñ m t cách t nhiên, có h th ng. Mong r ng ñây s là m t tài li u b ích ph c v cho quá trình h c t p môn gi i tích ph thông nói cũng như giúp các b n ôn thi m t cách hi u qu . M c dù ñã có nhi u c g ng trong quá trình biên so n nhưng ch c ch n không th nào tránh kh i thi u sót, tác gi r t cám ơn nh ng ý ki n ñóng góp ñ b tài li u ñư c hoàn ch nh hơn. M i th c m c, góp ý xin g i v ñ a ch hòm thư: vutrunglhp@gmail.com Hà N i, tháng 8 năm 2011 Tr n Vũ Trung, Sinh viên l p KSTN ðKTð – K552Tr n Vũ Trung KSTN ðKTð – K55ð năm 2008Bài 1: Cho dãy s ( xn ) th a mãn:Tìm gi i h n lim ( n 2 xn ) .n →∞ x1 = 2  2  x1 + x2 + … + xn = n xnBài 2:Cho s nguyên dương n . Tính tích phân: I = ∫Bài 3:Cho hàm sπsin nx . sin x 0f ( x) liên t c trên [0;1] th a mãn f (0) > 0 ,2007∫ f ( x) dx < 2008 .011Ch ng minh r ng phương trình f ( x) = xcó ít nh t 1 nghi m thu c kho ng (0;1).Bài 4: Cho hàm s f ( x) liên t c trên [0;1] và kh vi trên (0;1) th a mãn f (0) = 0 , f (1) = 1 . Ch ng minh r ng t n t i 2 s phân bi t a, b ∈ (0;1) sao cho f (a ) f (b) = 1 . Bài 5: Cho hàm sf : [a ; b] → [a ; b] th a mãn: f ( x ) − f ( y ) < x − y v i m i x, y ∈ [ a ; b ] ; x ≠ y . Ch ng minh r ng phương trình f ( x) = x có nghi m duy nh t trên [a ; b] .Bài 6: Cho IK là ño n vuông góc chung c a 2 ñư ng th ng chéo nhau a và b ( I ∈ a, K ∈ b ), M và N là hai ñi m b t kì l n lư t thu c a và b sao cho IM + KN = MN . Trong s các ñi m cách ñ u các ñư ng th ng a , b và MN , hãy tìm ñi m có kho ng cách ñ n m i ñư ng nói trên là ng n nh t.***3Tr n Vũ Trung KSTN ðKTð – K55ð năm 2009Câu I: Cho phương trình x 4 + x 2 − mx + 4 = 0 1) Gi i phương trình (1) khi m = 6 .(1)trong ñó m là tham s .2) Tìm m ñ phương trình (1) có nghi m.Câu II: 1) Ch ng minh r ng v i m i s th c a cho trư c thì hàm s f(x) = |x – a| có ñ o hàm t i m i ñi m x ≠ a và không có ñ o hàm t i ñi m x0 = a.2) Cho trư c các s th c λ1 , λ2 ,...., λn khác nhau t ng ñôi m t. Ch ng minh r ng:k1 x − λ1 + k2 x − λ2 + … + kn x − λn = 0 ∀x ∈ ℝ khi và ch khi k1 = k2 = … = kn = 0 .Câu III: x2 + y2 + z2 − 2x − 2 z − 7 = 0  1) Tìm các s th c x, y , z , p, q, r th a mãn  2 2 2  p + q + r + 10 p − 6q − 14r + 47 = 0  sao cho P = x 2 + y 2 + z 2 + p 2 + q 2 + r 2 − 2 xp − 2 yq − 2 zr ñ t giá tr l n nh t. 2) Cho 2 n a ñư ng th ng chéo nhau Ax, By và AB = a (a > 0) là ño n vuông góc chung. Góc gi a Ax, By b ng 30o. Hai ñi m C, D l n lư t ch y trên Ax, By sao cho AC+BD = d (d > 0) không ñ i. Xác ñ nh v trí các ñi m C, D sao cho th tích t di n ABCD ñ t giá tr l n nh t.Câu IV:Tìm hàm s f ( x) ≤ x v i m i x, y ∈ ℝ . f : ℝ → ℝ th a mãn:   f ( x + y ) ≤ f ( x) + f ( y )f : ℝ → ℝ liên t c th a mãn:bCâu V: Cho hàm sf ( λ x + (1 − λ ) y ) ≥ λ f ( x) + (1 − λ ) f ( y ) v i m i x, y ∈ ℝ và λ ∈ (0;1) . Ch ng minh r ng:∫ f ( x)dx ≤ (b − a) f  a a+b  v i m i a, b ∈ ℝ ; a < b . 2 ***4Tr n Vũ Trung KSTN ðKTð – K55ð năm 2010Câu I.2π1)2)Tính∫ sin ( sin x + nx ) dx0v i n∈ℤ.Cho hàm sy = f ( x) xác ñ nh trên t p s th c, th a mãn:f ( x) − f ( y ) ≤ x − y∀x, y ∈ ℝvà f ( f ( f (0))) = 0 . Ch ng minh r ng f (0) = 0 .Câu II. 1)Cho hàm sf ( x) kh vi liên t c c p hai trên [0;1], có f (0) = 1 và f (1) = 0 .Ch ng minh r ng t n t i c ∈ (0;1) sao cho f (c) = c . 2)Câu III. 1)Tính lim 30 + 30 + 30 + ⋯ + 30( n d u căn th c b c hai).Hàm sf ( x) kh vi t i x0 ñư c g i là l i (lõm) t i ñi m này n u t n t i lânc n c a ñi m ...