Bộ tài liệu ôn thi Kĩ sư tài năng 2011: Một số đề luyện tập - Trần Vũ Trung

"Bộ tài liệu ôn thi Kĩ sư tài năng 2011" bao gồm những bài viết theo chủ đề và một số đề thi được biên soạn phù hợp với nội dung đề thi tuyển sinh môn Toán và chương trình đào tạo KSTN và KSCLC của trường Đại học Bách khoa Hà Nội.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Bộ tài liệu ôn thi Kĩ sư tài năng 2011: Một số đề luyện tập - Trần Vũ TrungM t s ñ luy n t pð s 1Câu I. 1)1 ln (1 + x 2 ) − 2011 . 2 1 Ch ng minh r ng f ′( x) ≤ và phương trình f ( x) = x có nghi m th c duy nh t. 2 Cho dãy s th c {un } ñư c xác ñ nh như sau:Cho hàm sf ( x) =2)u1 = a ∈ ℝ , un +1 =Ch ng minh r ng dãy {un }1 ln (1 + un 2 ) − 2011 , v i n ≥ 1 . 2 h it .Câu II. Cho các s th c dương a, b, c . Phương trình sau có bao nhiêu nghi m th c x > 0 :1 1 1 2 + + = . a+ x b+ x c+ x xCâu III. 1) Cho hàm sf : [ 0;1] → [ 0;1] th a mãn: f ( x) − f ( y ) < sin x − sin y , ∀x, y ∈ [ 0;1] , x ≠ y . f ( x0 ) = x0 .Ch ng minh r ng t n t i duy nh t x0 ∈ [ 0;1] ñ2)Gi s hàm f ( x) kh vi trên ño n [ 0;1] và f ′(0) f ′(1) < 0 . Ch ng minh r ng t n t i c ∈ ( 0;1) sao cho f ′ ( c ) = 0 .Câu IV. 1) 2)Ch ng minh r ng∫02πsin x 2dx > 0 .Hàm f ( x) kh tích trên ño n [ 0;1] và∫ f ( x)dx > 0 . Ch01ng minh r ng t n t i ño n[ a, b] ⊂ [ 0;1]Câu V.mà trên ñó f ( x) > 0 .Cho 2 n a ñư ng th ng chéo nhau Ax, By và AB = a (a > 0) là ño n vuông góc chung. Góc gi a Ax, By b ng 30o. Hai ñi m C, D l n lư t ch y trên Ax và By sao cho t ng AC + BD = d (d > 0) không ñ i. Xác ñ nh v trí c a các ñi m C, D sao cho th tích t di n ABCD ñ t giá tr l n nh t. ***1ð s 2Câu I. Cho dãy s{un } ñư2 c xác ñ nh b i u1 = 1 , un+1 = 2011un + un .Tìm gi i h n:u u u  lim  1 + 2 + … + n  . n →∞ u un +1   2 u3Câu II. 1) Gi s hàm f ( x) xác ñ nh và liên t c trên ℝ và f ( f ( x) ) = x , ∀x ∈ ℝ .Ch ng minh r ng t n t i x0 ∈ ℝ sao cho f ( x0 ) = x0 .2)Tìm t t c các hàm liên t c th a mãn f ( x ) = f ( sin x ) , ∀x ∈ ℝ .Câu III. 1) 2)So sánh hai s 201220112012và 201120122011.Gi s hàm f : ( a, b ) → ℝ là hàm kh vi liên t c, và v i m i x, y ∈ ( a, b ) , t n t if ( y ) − f ( x) = f ′( z ) . Ch ng minh r ng ho c f l i nghiêm ng t y−x ho c f lõm nghiêm ng t trong ( a, b ) .duy nh t z màCâu IV.Trong phòng có 6 ngư i, c 3 ngư i thì có ít nh t 2 ngư i quen nhau. Ch ng minh r ng có 3 ngư i ñôi m t quen nhau.Câu V. Cho s nguyên dương n . Ch ng minh b t ñ ng th c: 1   1   1  1 +  1 + 2 … 1 + n  < 3 .  2  2   2 ***2ð s 3Câu I. Cho phương trình x + 1 − m − x = 1 (1). 1) Gi i phương trình (1) khi m = 4 . 2) Tìm m ñ phương trình (1) có nghi m. Câu II. 1) Cho hàm f kh vi liên t c hai l n trên ño n [ a, b ] , ∃ c ∈ ( a, b ) , f (a ) = f (b) = f (c) .Ch ng minh r ng t n t i x0 ∈ ( a, b ) sao cho f ( x0 ) + f ′′ ( x0 ) = 2 f ′ ( x0 ) .2) Tìm t t c các hàm f ( x) kh vi hai l n trên ℝ sao cho f ′ ( x ) f ′′ ( x ) = 0 , ∀x ∈ ℝ . Câu III.1  2  x sin Cho hàm s ϕ ( x ) =  x 0 2) Gi s Câu IV. 1)x≠0 x=01) Ch ng minh r ng hàm ϕ ( x) kh vi t i ñi m x = 0 .f ( x) kh vi t i ñi m x = 0 . Tính ñ o hàm c a f (ϕ ( x ) ) t i ñi m x = 0 . 1  Gi s hàm f : ( −a, a ) {0} → ( 0, +∞ ) th a mãn lim  f ( x) + = 2. x→0 f ( x)   Ch ng minh r ng lim f ( x) = 1 .x →02)Ch ng minh r ng v i m i t ≥ 0 , phương trình x 3 + tx − 8 = 0 luôn có nghi m dương duy nh t, ký hi u là x (t ) . Tính tích phân I = ∫ ( x(t ) ) dt .2 0 7Câu V.Trong phòng có 9 ngư i, b t kì 3 ngư i nào cũng có 2 ngư i quen nhau. Ch ng minh r ng có 4 ngư i ñôi m t quen nhau. ***3ð s 4Câu I.π1) Tính I = ∫02dx 1 + ( tan x )2.2) Tìm t t c các hàm liên t c f : ℝ → ℝ th a mãn:f ( x) f ( x + 1) + f ( x + 1) + 1 = 0 .Câu II. Gi s x1 , x2 ,… , xn là các nghi m ph c c a phương trình x n + x n −1 + … + x + 1 = 0 .Tính∑ 1− xk =1n1.kCâu III. 1) Tìm t t c các hàm s dương f ( x) kh vi liên t c trên [ 0;1] th a mãn ñi u ki n: f ′( x)  . f (1) = ef (0) và ∫   f ( x )  dx ≤ 1  0  2) Tìm t t c các hàm kh vi f : ℝ → ( 0; +∞ ) th a mãn f ′( x) = f ( f ( x) ) , ∀x ∈ ℝ .1 2Câu IV.Trên m t ph ng Oxy cho 3 ñi m không th ng hàng A, B, C. Bi t OA=1, OB=2, OC=3. Ch ng minh r ng di n tích tam giác ABC không l n hơn 5.Câu V.Cho các s th c phân bi t k1 , k2 ,… , kn . Ch ng minh r ng:a1 sin ( k1 x ) + a2 sin ( k2 x ) + … + an sin ( kn x ) = 0 , ∀x ∈ ℝ khi và ch khi a1 = a2 = … = an .***4ð s 5Câu I. π  4 n   1) Tính lim  n ∫ ( tan x ) dx  n →∞  0   2) Tìm hàm f : [ 0;1] → [ 0;1] th a mãn f ( x1 ) − f ( x2 ) ≥ x1 − x2 , ∀x1 , x2 ∈ [ 0;1] . Câu II. 1) Cho hàm f ( x) kh vi trên ño n [ a, b ] và th a mãn ñi u ki n f (a ) = f (b) = 0 ,f ( x) ≠ 0 , ∀x ∈ ( a, b ) . Ch ng minh r ng t n t i dãy { xn } , xn ∈ ( a, b ) sao cho:limn →∞(ne − 1 f ( xn )un2 nf ′ ( xn ))= 2011 .2) Cho dãy {un } : u0 = 3 , un+1 =1+ 1+ u. Tìm lim ( 2n un ) .n →∞Câu III. 1) S nào l n hơn trong hai s sau:∏ 1 − 365  và  n =125n 1 . 22) Tìm t t c các hàm f ( x) kh ...