Các bài toán chọn lọc về hình chóp tam giác

Các bài toán chọn lọc về hình chóp tam giác (tứ diện) của thầy Nguyễn Phú Khánh giới thiệu và hướng dẫn Các bài toán về khoảng cách, diện tích, thể tích, quan hệ vuông góc,... được thể hiện qua ngôn ngữ của phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Các bài toán chọn lọc về hình chóp tam giác Trường Quốc Học Quy NhơnCác bài Toán chọn lọc về hình chop tam giác GVTH:Nguyễn Phú KhánhTỨ DIỆN VẤN ĐỀ I: CÁC BÀI TOÁN CHỌN LỌC VỀ CHÓP TAM GIÁCVí dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AD ⊥ ( ABC ) , AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm.Tính khoảng cách từ A đến ( BCD ) .Giải:∆ABC vuông tại A zChọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho: DA ( 0; 0; 0 ) , B ( 3; 0; 0 ) , C ( 0; 4; 0 ) ,D ( 0; 0; 4 )Phương trình mặt phẳng ( ΒCD ) :x y z + + =13 4 4⇔ 4x + 3y + 3z − 12 = 0Khoảng cách từ A đến ( BCD ) . A C y −12 12d  A, ( BCD )  =   = 4 2 + 32 + 32 34 x BVí dụ 2: Cho hình chóp tam giác đều SABC cạnh đáy là a. Gọi M, N là trung điểmSB, SC. Tính theo a diện tích ∆AMN biết ( AMN ) ⊥ ( SBC ) .Giải:Gọi O là hình chiếu của S trên ( ABC ) ⇒ Ο là trọng tâm ∆ABCGọi I là trung điểm BC 3 a 3 a 3 a 3Ta có AI = BC = ⇒ OA = , OI = 2 2 3 6 a 3 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz: O ( 0; 0; 0 ) , A  ; 0; 0  , S ( 0; 0; h ) ( h, a > 0 )  3     a 3   a 3 a   a 3 a   a 3 a h  a 3 a h⇒ I− ; 0; 0  , B  − ; ;0 , C − ;− ;0, M− ; ;  , N − ;− ;   6   6 2    6 2   12 4 2   12  4 2        ah 5a 2 3 ⇒ n( AMN ) =  AM, AN  =  ; 0;     4 24     a2 3 ⇒ n( SBC ) =  SB,SC  =  −ah; 0;     6   ( AMN ) ⊥ ( SBC ) ⇒ n( AMN ) .n( SBC) = 0 a 5⇒h= 2 3 1 a 3 10⇒ S ∆AMN = AM, AN  = 2  16Ví dụ 3: Cho hình chóp SABC có đáy là ∆ABC vuông tại C, SA ⊥ ( ABC ) , CA = a, CB = b, SA = h .Gọi D là trung điểm AB.1. Tính cosin góc ϕ giữa AC và SD.2. Tính d ( AC,SD ) , d ( BC,SD ) .Giải:Trong ( ABC ) vẽ tia Ax ⊥ AC.Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho: A ( 0; 0; 0 ) , C ( 0; a; 0 ) , S ( 0; 0; h ) b a ⇒ Β ( b; a; 0 ) , D  ; ; 0  2 2 1. Tính cosin góc ϕ giữa AC và SD. AC = ( 0;a; 0 ) Ta có:  b a  SD =  ; ; − h   2 2  AC.SD a⇒ cos ϕ = = AC.SD a + b 2 + 4h 2 22. Tính d ( AC,SD ) , d ( BC,SD ) .  BC,SD  BS   had ( BC,SD ) = =  BC,SD  a + 4h 2 2    AC,SD  AS   hbd ( AC,SD ) = =  AC,SD  b 2 + 4h 2  Ví dụ 4: Cho ∆ABC đều cạnh a. Trên đường thẳng d ⊥ ( ABC ) tại A lấy điểm M.Gọi I là hình chiếu của trọng tâm G của ∆ABC trên ( BCM ) .1. Chứng minh I là trực tâm ∆BCM. -2. GI cắt d tại N. Chứng minh tứ diện BCMN có các cặp cạnh đối vuông góc.3. Chứng minh AM.AN không đổi khi M di động trên d.Giải:Trong mặt phẳng ( ABC ) vẽ Ay ⊥ AB. Chọn hệ trục tọa độ Axyz sao cho: a a 3  a a 3 A ( 0; 0; 0 ) , B ( a; 0; 0 ) , M ( 0; 0; m ) , C  ; ;0 ⇒ G ; ;0 2 2      2 6 1. Chứng minh I là trực tâm ∆BCM. z  BC ⊥ MATa có:  ⇒ BC ⊥ ( GIA )  BC ⊥ GI M⇒ BC ⊥ AITương tự MC ⊥ BI ⇒ I là trực tâm∆BCM2. Chứng minh tứ diện BCMN có cáccặp cạnh đối vuông góc. a (Ta có: BC = − 1; − 3; 0 2 ) A ...