Các bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng - ba đường thẳng đồng quy

"Các bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng - ba đường thẳng đồng quy" là tài liệu dành cho quý thầy cô tham khảo phục vụ bài giảng của mình, đồng thời tài liệu cung cấp cho các em học sinh nắm được một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng, tham khảo một số ví dụ minh họa để củng cố kiến thức và luyện tập giải đề. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Các bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng - ba đường thẳng đồng quy2 CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG - BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY A. CÁC BÀI TOÁN VỀ BA ĐIỂM THẲNG HÀNG I. Một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng Phương pháp 1: Sử dụng góc bù nhau Nếu có ABx  xBC  1800 thì 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Phương pháp 2: Sử dụng tiên đề về đường thẳng song song Tiên đề Ơclít: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ kẻ được duy nhất một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. Do đó, nếu qua điểm A ta kẻ được AB và AC cùng song song với một đường thẳng d nào đó thì A, B, C thẳng hàng. Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta chứng minh AB và AC cùng song song với một đườngthẳng d. Phương pháp 3: Sử dụng tiên đề về đường thẳng vuông góc Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta đi chứng minh AB và AC cùng vuông góc với một đường thẳng d. Phương pháp 4: Sử dụng 2 tia trùng nhau hoặc đối nhau Nếu hai tia MA, MB trùng nhau hoặc đối nhau thì 3 điểm M, A, B thẳng hàng. Phương pháp 5: Thêm điểm Để chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng có thể xác định thêm điểm D khác A, B, C sau đó chứng minh hai trong ba bộ ba điểm A, B, D; A, C, D; B, C, D thẳng hàng. Phương pháp 6: Phương pháp sử dụng hình đuy nhất Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng với C thuộc hình H nào đó. Ta gọi C’ là giao điểm của AB với hình H và tìm cánh chứng minh hai điểm C và C’ trùng nhau. Phương pháp 7: Sử dụng định lý Menelaus Cho tam giác ABC. Các điểm A’, B’, C’ lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB sao cho trong chúng hoặc không có điểm nào, hoặc có đúng 2 điểm thuộc các cạnh của tam giác ABC. A B B C C A Khi đó A’, B’, C’ thẳng hàng khi và chỉ khi . . 1 A C B A C B Chứng minh Nguyễn Công Lợi TÀI LIỆU TOÁN HỌC3 + Trường hợp 1: Trong 3 điểm A’, B’, C’ có đúng 2 điểm thuộc cạnh tam gi{c ABC. Giả sử l| B’, C’ - Điều kiện cần: Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt đường thẳng B’C’ tại M. CA AM B C A C AB B C C A AM A C A B Ta có  ;  . Vậy . .  . . 1 C B A B B A AM A C B A C B A B AM A C - Điều kiện đủ: Gọi A’’ l| giao của B’C’ với BC. AB B C C A AB B C C A [p dụng định lý Menelaus (phần thuận) ta có . .  1 mà . . 1 A C B A C B AC B A C B AB A B nên  . Do B’, C’ lần lượt thuộc cạnh CA, AB nên A’’ nằm ngo|i cạnh BC. A C A C AB A B Vậy  v| A’, A’’ nằm ngo|i cạnh BC suy ra A  A . Do đó A’, B’, C’ thẳng A C A C hàng + Trường hợp 2: Trong 3 điểm A’, B’, C’ không có điểm thuộc cạnh tam gi{c ABC được chứng minh tương tự. II. Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1. Cho hình thang ABCD có AB//CD. Gọi O l| giao điểm của hai đường chéo AC v| BD. Gọi M, N, P lần lượt l| trung điểm của AB, BC, AD. Gọi E l| trung điểm của PN. Chứng minh rằng ba điểm M, O, E thẳng h|ng. Phân tích tìm lời giải Trên cơ sở hình vẽ v| c{c yếu tố trung điểm ta nhận thấy nếu gọi K l| trung điểm của CD thì tứ gi{c MNKP l| hình bình h|nh, khi đó ba điểm M, O, E thẳng h|ng. Để có được M, O, E ta cần chỉ ta được M, K, O thẳng h|ng. Do O l| giao điểm của hai đường chéo nên ta thấy có c{c tam gi{c đồng dạng. Do đó rất tự nhiên ta nghĩ đến chứng minh KOM  1800 . Lời giải Gọi K l| trung điểm của CD. Khi đó trong tam gi{c ABD có M v| P l| trung điểm của AB 1 v| AD nên PM l| đường trung bình, do đó PM//BD và PM  BD . 2 Từ đó suy ra tứ gi{c MNKP l| hình bình A M B h|nh, do đó hai đường chéo NP v| MK cắt O nhau tại E hay ba điểm M, K, E thẳng h|ng . N P E Dễ thấy hai tam gi{c OAB v| OCD đồng OA AB dạng nên ta được  . M| lại có D ...