Các bài toán phương trình hàm trong Toán học tuổi trẻ gần đây

Xin giới thiệu đến các bạn tài liệu "Các bài toán phương trình hàm trong Toán học tuổi trẻ gần đây", nó sẽ giúp ích cho các bạn trong việc giải toán phương trình hàm. Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Các bài toán phương trình hàm trong Toán học tuổi trẻ gần đây CAÙC BAØI TOAÙN PHÖÔNG TRÌNH HAØM TRONG TOAÙN HOÏC TUOÅI TREÛ GAÀN ÑAÂY File naøy ñaõ ñöôïc Update töø ñaàu naêm 2009 ñeán heát naêm 2011I. NHÖÕNG BAØI TOAÙN CUÛA NAÊM 2009Baøi T11/375: - THTT thaùng 1/2009 tr25Cho haøm soá f :    thoûa maõn hai ñieàu kieän:  f (t )f (0)  0 vaø laø haøm ñoàng bieán treân  0 . CMR vôùi caùc soá döông x, y, z ta luoân coù: tx. f ( y 2  zx )  y. f (z 2  xy )  z. f ( x 2  yz)  0 (1) f (t )Theo giaû thieát thì haøm soá laø haøm ñoàng bieán treân  0 , neân toàn taïi caùc giôùi haïn: t f (t ) f (t ) f (t ) f (t )lim vaø lim . Choïn d  R sao cho : lim  d  lim ta thu ñöôïc haømt 0  t t0  t t0  t t 0  t  f (t )  neáu t  0g(x)   t d neáu t  0 Ñaët : y 2  zx  a; z2  xy  b; x 2  yz  c thì xa  yb  zc  0 .Khoâng maát tính toång quaùt coù theå giaû söû: a = max a, b, cDo : a  b  c  x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx  0 neân a  0.Do xa  yb  zc  0 neân yb   xa  zc vaø zc   xa  ybTa bieán ñoåi veá traùi cuûa (1) :T  x . f (a)  y. f (b)  z. f (c)  xag(a)  ybg(b)  zcg(c) döôùi daïngT  xag((a)  g(b))  zc( g(c )  g(b)) (2)T  xa( g(a)  g(c ))  yb( g(b)  g(c)) (3)Neáu T  0 thì töø (2), suy ra : c( g(c)  g(b))  0 (4)Töø (3) suy ra : b( g(b)  g(c))  0 (5)Töø (4) vaø (5) thu ñöôïc : (b  c)( g(b)  g(c))  0 maâu thuaãn vì g( x ) ñoàng bieán treân RVaäy : T  0Ñaúng thöùc xaûy ra khi x  y  z.Baøi T10/376: - THTT thaùng 2/2009 tr24Cho haøm soá f lieân tuïc treân R, thoûa maõn hai ñieàu kieän:f (2010)  2009 vaø f ( x ). f4 ( x )  1, x  , kí hieäu f 4 ( x )  f ( f ( f ( f ( x )))). Tính f (2008)Goïi Df laø taäp giaù trò cuûa haøm soá f(x). Theo giaû thieát thì: 2009  D f . 1Töø f ( x ). f4 ( x )  1, x   suy ra : f 4 (2010)  D f vaø xf3 ( x )  1, x  D f 2009  1  1Do f lieân tuïc treân D :  ; 2009   D f neân f3 ( x )  , x  D  2009  xTöø ñoù suy ra f laø ñôn aùnh treân D vaø do f laø haøm lieân tuïc treân R neân suy ra f laø haøm nghòch bieántreân D.Biên tập GV: HQH - TN http://sites.google.com/site/toantintrangchu/ Trang: 1 1Giaû söû x0  D sao cho f ( x0 )  . x0 1 1 1Do f nghòch bieán neân f2 ( x0 )  f ( ) (1) vaø  f3 ( x 0 )  f2 ( ). x0 x0 x0 1Töø ñaây suy ra: f ( )  f3 ( x0 )  x0 (2) x0 1Töø (1) vaø (2) suy ra: x0  f2 ( x0 ) hay f ( x 0 )  f3 ( x0 )  , maâu thuaãn vôùi ñieàu ñaõ giaû thieát. x0 1Vaäy khoâng toàn taïi x0  D ñeå f ( x0 )  x0 1Laäp luaän töông töï, ta cuõng CM ñöôïc khoâng toàn taïi x0  D ñeå f ( x0 )  x0 1 1Vaäy neân: f ( x )  , x  D. Maët khaùc, do 2008  D neân suy ra : f (2008)  x 2008Baøi T10/377: - THTT thaùng 3/2009 tr24Tìm taát caû caùc hsoá f :    thoûa maõn: f ( x 3  y )  2 y (3 f 2 ( x )  y 2 )  f ( y  f ( x )), x , y   (1) Thay y = x3 vaøo (1), ta ñöôïc: f (0)  2 x 3 (3 f 2 ( x )  x 6 )  f ( x 3  f ( x )), x   (2)Tieáp tuïc thay y = - f(x) vaøo (1), ta thu ñöôïc: f ( x 3  f ( x ))  2 f ( x )(3 f 2 ( x )  f 2 ( x ...