Biến phức định lý và áp dụng P6

Biến phức định lý và áp dụng P6 Biến phức là hàm số mà miền xác định và miền giá trị đều nằm trong tập hợp các số phức. Việc cho HBP w = f(z) tương đương với việc cho hai hàm biến thực u = u(x, y) và v = v(x,y), trong đó w = u + iv, z = x + iy. Hàm u gọi là phần thực của hàm w, kí hiệu Re w; hàm v gọi là phần ảo của w, kí hiệu Im w. Lớp HBP quan trọng nhất là lớp...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Biến phức định lý và áp dụng P6252 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phânT đ nh nghĩa ta có ∞ Γ(1) = e−x dx = −e−x |∞ = 0 + 1 = 1 0 (1.12). 0Tích phân t ng ph n ta đư c t t n−1 −x n−1 −t x e dx = −t e + (n − 1) xn−2 e−x dx. 0 0Dùng Đ nh lý L’Hospital ta có −tn−1 e−t ti n đ n 0 khi t ra ∞. Vì v y, ∞ ∞ Γ(n) = xn−1 e−x dx = (n − 1) x(n−1)−1 e−x dx (1.13) 0 0hay Γ(n) = (n − 1)Γ(n − 1) (1.14)và thay n b i n + 1 ta đư c Γ(n + 1) Γ(n + 1) = nΓ(n), Γ(n) = . (1.15) nT (1.14) suy ra Γ(n) = (n − 1)Γ(n − 1) = (n − 1)(n − 2)Γ(n − 2) = (n − 1)(n − 2)(n − 3) · · · 3 · 2 · 1 · Γ(1) = (n − 1)!T (1.12) ta đư c Γ(1) = 1, do đó Γ(n) = (n − 1)!. Ngư i ta đã tính đư c các giá tr c a Γ(n) v i 1 < n < 2 và nh các côngth c (1.14) và (1.15) ta có th tính Γ(n) v i m i giá tr dương c a n.6.2. Tính t ng b ng phương pháp sai phân 253Ví d 6.24. a. Γ(3.2) = (2.2)(1.2)Γ(1.2) = (2.2)(1.2)(0.9182) = 2.424. Γ(1.6) 0.8935 b. Γ(0.6) = 0.6 = 0.6 = 1.489. √ c. Γ(0.5) = π. V i n là s th c âm ta s dùng công th c (1.15) đ tính Γ(n). Γ(0.6) Γ(1.6)Ví d 6.25. Γ(−0.4) = −0.4 = (−0.4)(0.6) = −3.723Chú ý 6.3. Ngư i ta ch ng minh đư c r ng v i n = 0 và n nguyên âm thìΓ(n) không xác đ nh.Hàm Beta Hàm Beta đư c đ nh nghĩa b i 1 β(m, n) = xm−1 (1 − x)n−1 dx (1.16). 0Hàm Beta xác đ nh v i m i m, n > 0. Đ t y = 1 − x ta có 1 1 m−1 n−1 β(m, n) = x (1 − x) dx = y n−1 (1 − y)m−1 dy = β(n, m). (1.17) 0 0Ti p theo ta s tìm m i liên h gi a hàm Gamma và hàm Beta. Trong (1.11) đ t x = z 2 , dx = 2zdz; ta đư c ∞ 2 Γ(n) = 2 z 2n−1 e−z dz. 0T đó ta có ∞ 2 Γ(m) = 2 e−x x2m−1 dx 0 ∞ 2 Γ(n) = 2 e−y y 2n−1 dy 0254 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phân ∞ ∞ 2 −y 2 Γ(m)Γ(n) = 4 e−x x2m−1 y 2n−1dydx. 0 0Chuy n sang t a đ c c ta có π ∞ 2 2 Γ(m)Γ(n) = 4 e−r r2m−1 (cos θ)2m−1 r2n−1 (sin θ)2n−1 rdrdθ 0 0 ...