CÁC BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM

Bài 1: Cho đường tròn (O; R) và tam giác cân ABC có AB = AC nội tiếp đường tròn (O; R) Kẻ đường kính AI. Gọi M là một điểm bất kì trên cung nhỏ AC. Mx là tia đối của tia MC. Trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho MD = MC. a) Chứng minh rằng MA là tia phân giác của của góc BMx. b) Gọi K là giao thứ hai của đường thẳng DC với đường tròn (O). Tứ giác MIKD là hình gì? vì sao? c) Gọi G là trọng tâm...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
CÁC BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂMTµi liÖu båi dìng häc sinh giái Quü tÝch I.CÁC BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM Bài 1: Cho đường tròn (O; R) và tam giác cân ABC có AB = AC nội tiếpđường tròn (O; R) Kẻ đường kính AI. Gọi M là một điểm bất kì trên cungnhỏ AC. Mx là tia đối của tia MC. Trên tia đối của tia MB lấy điểm D saocho MD = MC. a) Chứng minh rằng MA là tia phân giác của của góc BMx. b) Gọi K là giao thứ hai của đường thẳng DC với đường tròn (O). Tứgiác MIKD là hình gì? vì sao? c) Gọi G là trọng tâm của tam giác MDK. Chứng minh rằng khi M diđộng trên cung nhỏ AC thì G luôn nằ m trên một đường tròn cố định. d) Gọi N là giao điểm thứ hai của đường thẳng AD với đường tròn (O). Plà giao điểm thứ hai của phân giác góc IBM với đường tròn. Chứng minhrằng, đường thẳng DP luôn đi qua một điểm cố định khi M di động trên cungnhỏ AC. Hướng D xdẫn: A a) Góc G M NAMB = O(1/2)sđAB (góc K B C 1 Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng Ninh ITµi liÖu båi dìng häc sinh giái Quü tÝchnội tiếp (O) chắn AB ) Góc AMx = 180độ - Góc AMC = 180độ - (1/2)sđcungABC =(1/2)sđcungAC =(1/2)sđcungAB vậy: Góc AMB = Góc AMx hay MA là tia phân giác của Góc BMx b) +Tam giác MCD cân => Góc MCD = Góc MDC = (1/2)Góc BMC (góc ngoài của tam giác) lại có Tam giác ABC cân => I là điểm chính giữa của cung BC => GócIMC = Góc IMB = (1/2)Góc BMC vậy Góc MCD = Góc IMC => IM song song với CD + Góc MCD = Góc MDC = Góc BMI => BI = MK =>Góc MIK =Góc IMB => IK song song với MD Vậy MIKD là hình bình hành. c) D thuộc đường tròn (A; AC) Gọi N là điể m trên AI sao cho NA = (1/3)AI.=> NG = (2/3)AD =(2/3)AC = hs => G thuộc đường tròn (N; (2/3)AC) ---------------------------- Bài 2: Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O; R). Gọi D là điểmchính giữa của cung BC không chứa A. Vẽ đường tròn qua D và tiếp xúc với2 Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng NinhTµi liÖu båi dìng häc sinh giái Quü tÝchAB tại B. Vẽ đường tròn qua D và tiếp xúc với AC tại C. Gọi E là giao điểmthứ hai của hai đường tròn này. a) Chứng minh 3 điểm B, C, E thẳng hàng. b) Một đường tròn tâm K di động luôn đi qua A và D, cắt AB, AC theothứ tự tại M và N. Chứng minh rằng BM = CN. c) Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng MN. A M K I E B C D N y x Hướng dẫn: a) + góc BED = góc DBx = góc ACB 3 Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng NinhTµi liÖu båi dìng häc sinh giái Quü tÝch + góc CED = góc DCy = góc ABD => góc BEC = gócABD + gócACD = 180 độ. => B, E, C thẳng hàng. b) cung BD = cung DC => góc BAD = góc CAD => cung DN = cungDM => DM = DN cung BD = cung DC => DB = DC góc DCN = góc DBM => Tam giác BMD = tam giác CND => BM = CN. c) Tính được DI = 2KD sin2 (A/2) =>(DI/DK) =2 sin2(A/2) =hs K thuộc trung trực của AD => I thuộc đường thẳng vuông góc với ADcắt AD tại P sao cho (DP/DA )=sin2(A/2) ----------------------------------- Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Các điểm M, N theo thứ tự chuyểnđộng trên các cạnh AB, AC sao cho AM = CN. a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn đi qua mộtđiể m cố định khác A. b) Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN.4 Vò §øc Kiªn - Trêng Thùc Hµnh S Ph¹m – C§SP Qu¶ng NinhTµi liÖu båi dìng häc sinh giái Quü tÝch A M ...