Các bài toán trong tam giác và một số bài giảng: Phần 2

Nối tiếp nội dung phần 1 tài liệu Một số bài giảng về các bài toán trong tam giác, phần 2 cung cấp cho người đọc các kiến thức: Sử dụng tính chất của tam thức bậc 2 chứng minh một số bất đẳng thức trong tam giác, sử dụng các đẳng thức lượng giác xây dựng một số dạng bất đẳng thức trong tam giác, bất đẳng thức dạng gần suy biến,... Mời các bạn tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Các bài toán trong tam giác và một số bài giảng: Phần 272 Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Ngọc Thắng3 Sử dụng tính chất của tam thức bậc 2 chứng minh một số bất đẳng thức trong tam giácSử dụng tính chất của tam thức bậc 2 trong một sô trường hợp chúng ta cócách giải gọn và mạnh hơn đối với một sô dạng bất đẳng thức trong tam giác.Ví dụ 3.1. Chứng minh rằng 3 p = cos A + COS B + COS c Một SỐ bài giáng về các bài toán trong tam giác 73 C* 1•2• riaiBiến đổi như trong ví dụ (3. 1 ) chúng ta thu được các bất đẳng thức 9A - D COS*--- ---- COS A + c o s B + COS c < 1 H-------------— ^— ù 7 B —c cos 9~~ COS Á -f- COS D + COS C 5Í 1 4------ ------- ềmá ,, C - A cos ~ õ ~ cos A + cos B + cos c < 1 H-------- —Cộng vế với vế ba bất đẳng thức trên ta thu được bất đẳng thức cần chứngminh.Ví dụ 3.3. Chứng minh rằng M 4. M 4. M > — II + lị + II * R Giải ỊỊ — Q ỊịSử dụng các bất đảng thức COS ——— — ~ và tá lacos A + COS B + cos c = 1 + J— ta thu được bất đẳng thức cẩn chứngminh.Ví dụ 3.4. Chứng minh rằng A-B D-C C-A co s------------- 1- COS-----—------- h COSa) cos A + cos D + COS c < 1H--- ------- 2-7-- A- D B -C c-A , cos — ----- 1- cos — ------h cos — -—b) COS A + cos D + cos c < H ------------------------ —2---------------- -— . 674 Nguyễn VO Lương, Nguyẻn Ngọc Thắng GỉảiSuy trực tiếp từ kết quả của ví dụ (3.2). A —B . ^ n A —B a A —B ^ ^ u*) Vì Icos —- — I < 1 nên cos° — - — < cos^ — - — với a ^ /?.. M z*) Vì 1—^ — 1^ I— — I (n ^ 2), suy ra 2 n A -B . COS < cos 2 nTa thu được các bất đẳng thức cẩn chứng minh.2) Có thể chứng minh mội số bát đẩng thức lương tự ví Một sô) bài giàng về các bài toán trong tam giác 753. Thuận tiện khi chứng minh bát đảng thức có điều kiện.Ví dụ 3 .6 . Giá sử A . B . C là các cóc của một tam giác không tù,chứng minh ràng COS .4 + cos Ỉ3 + cos c < pi. GiảiTa có 4 D —c A A p = COS A+ 2sin — cos — -—- < 1 —2 sin2— + 2 sin — 7T 1VÌ 0 < A < —=>0 < t= sin — < —7= và thu đươc - 2 2 v2p < - 2t2 + 2t + Ì = f (t), tro n g đó 0 < t < ~^=. v2Vì trên (0, -ị=Ị hàm /(/2 m < /(4 ) =Vậy p < x/2.Đẳng tlhức xảy ra khi và chỉ khi D = c, . A 1 sin — = —7=. 2 x/ 24. Thu ận tiện khi chứng minh một số dạng bất đẳng thức không đôixứng.Ví dụ 3.7. Chứng minh rằng p = cos A + cos(D — C) + cos2C <76 Nguyễn VO Lương, Nguyễn Ngọc Thắng Giải • * * •Ta có r> • , „ B +C B - 3 C ^ , n .__2 A n . A 3 p = cos A + 2 cos — --— cos — — — < 1 —2 sin — + 2 sin ^ ...