Các bài toán về nhị thức newton

Tài liệu tham khảo về Các bài toán về nhị thức newton...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Các bài toán về nhị thức newtonGV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thứcNewton NhÞ thøc newton vµ øng dông I - NhÞ thøc newton 1 - C«ng thøc nhÞ thøc Newton: Víi mäi cÆp sè a, -b vµ mäi sè nguyªn d¬ng ta cã: (a + b)n = con an + c1n an – 1 b + c2n c1n – 2 b2 + … + cnn-1 abn – 1 + cnnbn n = ∑ C n a n−k b k (*) k k =n 2 - C¸c nhËn xÐt vÒ c«ng thøc khai triÓn: + Sè c¸c sè h¹ng ë bªn ph¶i cña c«ng thøc (*) b»ng n + 1, n lµ sè mò cñanhÞ thøc ë vÕ tr¸i. + Tæng c¸c sè mò cña a, b trong mçi sè h¹ng b»ng n. + C¸c hÖ sè cña khai triÓn lÇn lît lµ: C0n; C1n; C2n; … Cn-1n; Cnn; Víi chó ý: Ckn = Cnn–k 0 < k < n. n − k + 1 k −1 Cn = k Cn k 3 - Mét sè d¹ng ®Æc biÖt: + D¹ng 1: Thay a = 1 vµ b = x vµo (*) ta ®îc (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x2 + …+ Cn-1n xn-1 + Cnn xn + D¹ng 2: Thay a = 1 vµ b = -x vµo (*) ta ®îc (2) (1 - x)n = C0n - C2n x+ C2nx2 + …(-1) kCkn xk + …+ (-1)n Cnn xn (3) 4 - Mét sè hÖ thøc gi÷a c¸c hÖ sè nhÞ thøc + Thay x = 1 vµo (2) ta ®îc C0n + C1n x + C2n + …+ Cnn = 2n + Thay x = -1 vµo (3) ta ®îc: C0n - C1n x + C2n - …+ (-1)n Cnn = 0 A - ¸p dông I. ViÕt khai triÓn vµ tÝnh cña c¸c biÓu thøc sö dông khai triÓn ®ã: Bµi 1: Thùc hiÖn khai triÓn:TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang1GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thứcNewton (3x – 4)5 5 CT: Ta cã (3x – 4)5 = ∑ C5 (3x) .(−4) 5− k k k k =0 = 35. C05 . x5 + 4.34 C15 x4 + … + 45 C55 Trong khai triÓn ®ã + Cã 6 sè h¹ng. + C¸c hÖ sè cã tÝnh ®èi xøng nhau + Ta cã c¸c hÖ sè cña 3 hÖ sè ®Çu cña c«ng thøc khai triÓn ®ã lµ c¸c hÖsè C05 = 1 C15 = 5 C25 = 10 VËy (3x – 4)5 = 243x5 – 1620 x4 + 4320 x3 – 5760 x2 + 3840 x – 1024 Bµi 2: TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau: S1 = C06 + C16 + C26 + … + C66 a: S2 = C05 + 2C15 + 22 C25 + … +25 C55 b: S3 = 317. C017 – 41. 316. C117 + 42. 315. C217 – 43.314. C37 + …-417.C1717 c: S4 = C611 + C711 + C811 + C911 + C1011 + C1111 d: 2001− k S 4 = C2002C2002 + C2002C2001 + ... + C2002C2002−k + ... + C 2002 C10 0 2001 1 2000 k 2001 e: Gi¶i:a ta cã S1 = C06 + C16 + C26 + … + C66 = (1 + 1)6 = 26 = 64 5 ∑C 5= k x k (1) b:Ta cã (1 + x) 5 k =0 Thay x = 2 vµo (1) ta ®îc: S2 = C05 + 2C15 + 22. C25 + … +25 C55 = 35 = 243 c:Ta cã: = 317. C017 – 41. 316. C117 + 42. 315. C217 – 43.314. C37 + …-417.C1717 S3 = C017.317+ C117.316(-4)1 + C217 315 (-4)2 + C317 314 (-4) + …+ C1717 (-14)17 = (3 – 4)17 = (3 – 4)17 = -1 d: Ta cã (1 + 1)11 = C011 + C111 + C211 + … + C611 + C211 +…+ C1111 ∈ MÆt kh¸c Ck11 = C1111-k víi k (0,1,2,…11) Do vËy: (1 + 1)11 = 2 (C611 + C711 + C811 + C911 + C1011 + C1111) = 2S4TRUNG TÂM LTĐH TÀI ĐỨC Trang2GV: Nguyễn Văn Huy (ĐT: 0909 646597) Chuyên đề Nhị thứcNewton →S4 = 210 ( 2002 − k )! 2002! 2001− k C 2002 .C 2002− k = ... k . k!(2002 − k )! (2001 − k )! e: Ta cã 2002!2002! = = 2002C 2001 k k!( 2001 − k )! ( C 2001 + C 2001 + ... + C2001 ) = 2002(1 + 1) 0 1 2001 2001 Tõ ®ã: S5 = 2002 Bµi 3: T×m sè nguyªn d¬ng n sao cho: Con + 2 C1n + 4 C2n + … + 2n Cnn = 243 (1) Gi¶i: Ta cã Con + 2 C1n + 2 C2n + … + 2n Cnn = (1 + 2)n = 3n VËy (1) ⇔ 3n = 243 = 35 ⇔ n = 5 Bµi tËp t¬ng tù Bµi 4: ViÕt khai triÓn (3x – 1)16 vµ chøng minh r»ng 316. Co16 – 315 C116 + … + C1616 = 216. Bµi 5: TÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau: S1 = 2n C0n + 2n-2 C2n + 2n-4 C4n + … + Cnn a: S2 = 2n-1 C1n + 2n-3 C3n + 2n-5 C5n + … +Cnn b: S3 = C610 C710 + C810 + C910 + C1010 c: Bµi 6: TÝnh tæng S = C 2000 + C2000 + .3C2000 + ... + 2001C2000 0 1 2 2000 II. T×m hÖ sè (t×m sè h¹ng) trong khai triÓn Ph¬ng ph¸p: Víi c¸c yªu cÇu vÒ hÖ sè trong khai triÓn NEWTON, ta cÇn l uý: n ∑ 1 n −i i n 1 – Ta cã: (a + b) = Cn a b i =0 Do ®ã hÖ sè cña sè h¹ng thø i lµ Cin, vµ sè h¹ng thø i: Cin an-i bi n −i ...