Các phép biến đổi đồ thị và tính IBN của đại số đường đi Leavitt

Bài viết Các phép biến đổi đồ thị và tính IBN của đại số đường đi Leavitt chứng minh phép khử đỉnh nguồn và phép mở rộng bảo toàn tính chất UGN nhưng không bảo toàn tính chất IBN của đại số đường đi Leavitt của các đồ thị liên kết.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Các phép biến đổi đồ thị và tính IBN của đại số đường đi LeavittISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL. 17, NO. 4, 2019 37 CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ VÀ TÍNH IBN CỦA ĐẠI SỐ ĐƯỜNG ĐI LEAVITT THE GRAPH TRANFORMATIONS AND IBN PROPERTY OF LEAVITT PATH ALGEBRAS Tăng Võ Nhật Trung, Ngô Tấn Phúc Trường Đại học Đồng Tháp; tangvonhattrung0307@gmail.com, ntphuc@dthu.edu.vnTóm tắt - Năm 2005, Abrams – Aranda Pino và nhóm Ara – Moreno Abstract - In 2005, Abrams – Aranda Pino and independently Ara– Pardo đã giới thiệu lớp đại số đường đi Leavitt với hệ số trên một – Moreno – Pardo constructed the Leavitt path algebras withtrường. Để khảo sát tương đương Morita của đại số đường đi coefficients in a field. To investigate Morita equivalence of LeavittLeavitt, Abrams – Louly – Pardo – Smith đã giới thiệu các phép biến path algebras, Abrams – Louly – Pardo – Smith introduced theđổi đồ thị cơ bản và chứng minh rằng chúng bảo toàn tương đương basic tranformations on the digraph and proved that they preserveMorita của đại số đường đi Leavitt trên các đồ thị liên kết. Các phép Morita equivalence of the associated Leavitt path algebras. Thesebiến đổi đồ thị này giúp cho vấn đề khảo sát tính chất IBN trên đại số graph moves make the IBN investigating problem simplier.đường đi Leavitt trở nên đơn giản hơn. Tuy nhiên, tính chất IBN trên However, it is known that the IBN property is not a Morita invariantvành nói chung không phải là một bất biến Morita. Vì thế, chúng ta property for rings. So we study the impact of the basic graphcần nghiên cứu tác động của các phép biến đổi đồ thị cơ bản đến tranformations on the IBN property of the associated Leavitt pathtính chất IBN của đại số đường đi Leavitt của các đồ thị liên kết. algebras. In this paper, we show that the source elimination andTrong bài viết này, chúng tôi chứng minh phép khử đỉnh nguồn và the expansion on diraph preserve the UGN but not the IBN propertyphép mở rộng bảo toàn tính chất UGN nhưng không bảo toàn tính of the associated Leavitt path algebras.chất IBN của đại số đường đi Leavitt của các đồ thị liên kết.Từ khóa - Đại số đường đi Leavitt; phép khử đỉnh nguồn; phép mở Key words - Leavitt path algebra; source elimination; expansion;rộng; tính chất IBN; tính chất UGN. IBN property; UGN property.1. Đặt vấn đề Một đồ thị E = ( E0 , E1 , s, r ) là một bộ bao gồm hai tập Trong [7], W. Leavitt đã đề xuất khái niệm UGN và hợp E 0 và E1 và hai ánh xạ r , s : E1 → E 0 . Các phần tử củaIBN như sau: một vành R được gọi là thỏa mãn điều kiệnUGN (tương ứng, IBN) nếu có một đơn cấu (tương ứng, E 0 được gọi là các đỉnh và các phần tử của E1 được gọiđẳng cấu) từ Rm đến R n thì m  n (tương ứng, m = n ). là các cạnh. Đối với mỗi cạnh e trong E1 , s ( e ) được gọiDễ thấy tính chất IBN là hệ quả của tính chất UGN. Các là điểm đầu của e và r ( e ) được gọi là điểm cuối của e .khái niệm này đóng vai trò quan trọng trong lí thuyết vành Đồ thị E được gọi là hữu hạn nếu các tập E 0 và E1 là cáchay lí thuyết môđun nói chung. Một số kết quả gần đây về tập hữu hạn phần tử. Trong bài viết này, ta chỉ xét nhữngtính UGN và IBN có thể tham khảo tại [6], [7]. đồ thị hữu hạn. Cho một đồ thị (trực tiếp) E và một trường số K , Một đường đi trong một đồ thị E là chuỗi các cạnhAbrams - Aranda Pino trong [1] và Ara – Moreno – Pardo p = e1e2 ...en sao cho r ( ei ) = s ( ei +1 ) với mọitrong [4] đã giới thiệu lớp đại số đường đi Leavitt LK ( E ) i = 1, 2,..., n −1. Đường đi p được gọi là một chu trìnhcủa đồ thị E . Lớp đại số này là mở rộng của đại số Leavitt LK (1, n) trong [7]. Trong [3], Abrams – Nam - Phuc đã chỉ nếu như s ( p ) := s(e1 ) = r (en ) =: r ( p ) và s ( ei )  s ( e j )ra các điều kiện về đồ thị E để LK ( E ) thỏa mãn tính UGN. với mọi i  j . Nói cách khác, một chu trình là một đườngSau đó, trong [8], Nam - Phuc đã chỉ ra điều kiện cần và đủ đi mà bắt đầu - kết thúc trên cùng một đỉnh và không đi quatrên ma trận liên thuộc của đồ thị thị E để LK ( E ) thỏa bất kì đỉnh nào quá một lần. Kí hiệu p 0 là ...