Các phương pháp số cho phương trình vi phân

Tài liệu tham khảo về Các phương pháp số cho phương trình vi phân...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Các phương pháp số cho phương trình vi phân 1 M cl c M cl c 1 0.1 Lý do ch n đ tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.2 M c đích yêu c u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.3 Phương pháp nghiên c u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 0.4 Gi i h n c a đ tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Phương pháp s cho phương trình vi phân c p 1 4 1.1 Phương pháp Euler đ gi i phương trình vi phân c p 1 . . . . . . . . 4 1.2 Phương pháp Euler c i ti n (Phương pháp Heun) . . . . . . . . . . . 7 1.3 Phương pháp Runge - Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Sai s và s đi u ch nh bư c nhãy RKF (Rung - Kutta - Fehlberg) . . 112 Phương pháp nhi u nút 14 2.1 Phương pháp Adams - Bashforth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Các phương pháp Adams - Moulton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Phương pháp cho h phương trình và phương trình vi phân b c cao 17 3.1 Phương pháp Euler cho h phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.2 Các phương pháp Runge - Kutta cho h phương trình . . . . . . . . . 19 3.3 Phương pháp Runge - Kutta - Nystr¨m (phương pháp RKN) . . . . . 20 o4 Phương pháp cho các phương trình vi phân đ o hàm riêng 22 4.1 Các phương pháp cho các phương trình vi phân ki u Elip . . . . . . . 23 4.1.1 Các phương trình vi phân cho phương trình Laplace và phương trình Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 4.1.2 Bài toán Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 4.1.3 Phương pháp ADI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.2 Bài toán Neumann và nhi u lo n. Biên không chính quy . . . . . . . 30 4.3 Phương pháp cho phương trình Parabol . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2 4.4 Phương pháp cho phương trình Hypebol . . . . . . . . . . . . . . . . 405 Ph n k t lu n 42 30.1 Lý do ch n đ tài Phương pháp s là m t môn h c b t bu c cho t t c h c viên Cao h c v t lý.Nó cung c p cho h c viên các phương pháp nh m gi i quy t nh ng v n đ liên quanđ n tính toán, các thu t toán và cách gi i g n đúng hay x p x các phương trình,tích phân, vi phân, đ o hàm,... Phương pháp s có th dùng đ gi i g n đúng cácbài toán mà các phương pháp thông thư ng không th gi i đư c. H u h t, chúngmã hoá và đưa ra các thu t gi i đ thu n ti n cho vi c l p trình trên máy tính. Đ tìm hi u sâu hơn v môn h c nhóm chúng tôi đư c s phân công c a th ygiáo hư ng d n làm đ tài : Các phương pháp s cho phương trình vi phân(numerical methods for differential equations). Đ làm ti u lu n cho môn h c. Do kinh nghi m còn h n ch nên trong ti u lu n không tránh kh i các sai sótkính mong s góp ý chân thành c a quý th y cô và b n đ c.0.2 M c đích yêu c u Đưa ra các phương pháp cho phương trình vi phân c p m t, cho h phươngtrình vi phân c p 1, phương trình vi phân c p cao, phương trình vi phân đ o hàmriêng.0.3 Phương pháp nghiên c u Ch y u là nghiên c u tài li u và th o lu n nhóm đ đưa ra các k t lu n đưavào ti u lu n.0.4 Gi i h n c a đ tài Trong ti u lu n này chúng tôi ch trình bày, đưa ra phương pháp và m i phươngpháp ch trình bày m t ví d đ minh ho . 4Chương 1 PHƯƠNG PHÁP S CHOPHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN C P 11.1 Phương pháp Euler đ gi i phương trình vi phân c p 1 Ta đã bi t phương trình vi phân c p 1 có d ng F (x, y, y ) = 0, và nó có thvi t tư ng minh y = f (x, y ). Thư ng phương trình vi phân ngư i ta cho thêm m tđi u ki n ban đ u v nghi m tho mãn. Trong ph n này ta s xét phương trình viphân c p 1 và đi u ki n có d ng: y = f (x, y ); y (x0 ) = y0 (1.1)gi s f là bài toán có duy nh t nghi m trên đo n có ch a x0 .Ta s bàn v các phương pháp đ tính các giá tr s c a các nghi m, đây ta chc n nêu m t cách th c cho nghi m c a các phương trình không kh d ng ho c quáph c t p đ tính toán. Các phương pháp mà ta th c hi n đ làm đi u này là phương pháp g n đúngtheo t ng b ơc (step-by-step motheds). Ta b t đ u t vi c có giá tr y0 = y (x0 )và ti n hành theo các bư c, tính các giá tr g n đúng c a nghi m y (x) t i các nútmesh points x1 = x0 + h ; x2 = x0 + 2 h ; x3 = x0 + 3h; ...v i ...