Các vấn đề cơ sở về phương trình nghiệm nguyên

Trong chương trình toán THCS và THPT thì phương trình nghiệm nguyên vẫn luôn là 1 đề tài hay và khó đối với học sinh. Các bài toán nghiệm nguyên thường xuyên có mặt tại các kì thi lớn, nhỏ , trong và ngoài nước.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Các vấn đề cơ sở về phương trình nghiệm nguyên M T S V N Đ CƠ S V PHƯƠNG TRÌNH NGHI M NGUYÊN Tác Gi : Phí Thái Thu n 10 chuyên Toán THPT chuyên THĐ - Bình Thu n Trong chương trình toán THCS và THPT thì phương trình nghi m nguyênv n luôn là m t đ tài hay và khó đ i v i h c sinh. Các bài toán nghi mnguyên thư ng xuyên có m t t i các kì thi l n, nh , trong và ngoài nư c.Trong bài vi t này tôi ch mu n đ c p đ n các v n đ cơ b n c a nghi mnguyên (các d ng; các phương pháp gi i) ch không đi sâu (vì v n hi u bi tcó h n). Tôi cũng s không nói v phương trình Pell (vì nó có nhi u trong cácsách) và phương trình Pythagore; Fermat (cũng có nhi u trong sách; kháini m r t đơn gi n) Chú ý: các b n có th tìm đ c thêm cu n phương trìnhvà bài toán nghi m nguyên c a th y Vũ H u Bình.Phương Pháp 1: Áp D ng Tính Chia H t D ng 1: phương trình d ng ax + by = c Ví d 1: Gi i phương trình nghi m nguyên sau: 2x + 25y = 8 (1) Gi i: Có th d dàng th y y ch n. Đ t y = 2t. Phương trình (1) trthành: x + 25t = 4. T đó ta có nghi m phương trình này:   x = 4 − 25t y = 2t  t∈Z Chú ý: Ta còn có cách th 2 đ tìm nghi m c a phương trình trên. Đó làphương pháp tìm nghi m riêng đ gi i phương trình b c nh t 2 n. Ta d avào đ nh lí sau: N u phương trình ax + by = c v i (a; b) = 1 có 1 t p nghi mlà (x0 ; y0 ) thì m i nghi m c a phương trình nh n t công th c:   x = x0 + bt y = y0 − at  t∈Z Đ nh lí này ch ng minh không khó (b ng cách th tr c ti p vào phươngtrình) D a vào đ nh lý này ; ta ch c n tìm 1 nghi m riêng c a phương trìnhax + by = c . Đ i v i các phương trình có h s a; b; c nh thì vi c tìm nghi mkhá đơn gi n nhưng v i các phương trình có a; b; c l n thì không d dàng 1chút nào . Do đó ta ph i dùng đ n thu t toán Euclide (các b n có th tìmđ c các sách ; tôi s không nói nhi u v thu t toán này) . Ngoài ra còn cóthêm phương pháp hàm Euler . D ng 2: Đưa v phương trình ư c s : Ví d 2: Gi i phương trình nghi m nguyên sau: 2x + 5y + 3xy = 8 (2) Gi i: (2) ⇔ x(2 + 3y ) + 5y = 8 ⇔ 3[x(2 + 3y ) + 5y ] = 24 ⇔ 3x(2 + 3y ) + 15y = 24 ⇔ 3x(2 + 3y ) + (2 + 3y ) · 5 = 34 ⇒ (3x + 5)(3y + 2) = 34 34 = 17.2 = 34.1 L p b ng d dàng tìm đư c nghi m phương trình trên. Ví d 3: Gi i phương trình nghi m nguyên sau: x2 + 2y 2 + 3xy − 2x − y = 6 (3) Gi i: (3) ⇔ x2 + x(3y − 2) + 2y 2 − y + a = 6 + a a là 1 s chưa bi t; a s đc xác đ nh sau. Xét phương trình: x2 + x(3y − 2) + 2y 2 − y + a = 0 ∆ = (3y − 2)2 − 4(2y 2 − y + a) = y 2 − 8y + 4 − 4a Ch n a = −3 ⇒ ∆ = y 2 − 8y + 16 = (y − 4)2 ⇒ x1 = −y − 1; x2 = −2y + 3 T đó ta có phương trình ư c s : (x + y + 1)(x + 2y − 3) = 3 D ng 3: Phương pháp tách các giá tr nguyên Ví d 4: Gi i phương trình nghi m nguyên sau: xy − x − y = 2 (4) Gi i: (4) ⇒ x(y − 1) = y + 2 ⇒ x = y+2 y −1 3 ⇒ x = 1 + y −1 ⇒ (y − 1)|3 Phương Pháp 2: Phương Pháp L a Ch n Modulo (hay còn g i là xét sdư t ng v ) 2 Trư c tiên ta có các tính ch t cơ b n sau: 1 s chính phương chia 3 dư0, 1; chia 4 dư 0, 1 ; chia 8 dư 0, 1, 4 Ví D 5: Gi i phương trình nghi m nguyên sau: x2 + y 2 = 2007 (5) Gi i: x2 ≡ 0; 1(mod4) y 2 ≡ 0; 1(mod4) ⇒ V T = x2 + y 2 ≡ 0; 1; 2(mod4) Còn V P = 2007 ≡ 3(mod4) Do đó phương trình trên vô nghi m. Có th m r ng thêm cho nhi u modulo như 5; 6; · · · và m r ng cho sl p phương; t phương; ngũ phương... Ta đ n v i ví d sau: Ví d 6: Gi i phương trình nghi m nguyên dương sau: 30 19x + 5y + 1890 = 19754 + 1993 (6) Gi i: D th y V T ≡ 19x (mod5). M t khác: 19x = (20 − 1)x ≡ (−1)x (mod5) x ch n thì 19x ≡ 1(mod5); x l thì 19x ≡ −1 ≡ 4(mod5) ⇒ V T ≡ 1; 4(mod5) Còn V P ≡ 1993 ≡ 3(mod5) (vô lí) Do đó phương trình trên vô nghi m. Chú ý: Nhi u bài toán nghi m nguyên trong đ thi vô đ ch toán các nư cđôi khi ph i xét đ n modulo khác l n ; ta xét đ n ví d sau: Ví D 7:(Balkan1998) Gi i phương trình nghi m nguyên sau: m2 = n5 − 4 (7) Gi i: m2 ≡ 0; 1; 3; 4; 5; 9(mod11) n5 − 4 ≡ 6; 7; 8(mod11) (vô lí) Do đó phương ...