Cân bằng hệ số trong bất đẳng thức Cô -si

Tài liệu tham khảo Cân bằng hệ số trong bất đẳng thức Cô -si
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Cân bằng hệ số trong bất đẳng thức Cô -siwww.hsmath.net CAÂN BAÈNG HEÄ SOÁ TRONG BAÁT ÑAÚNG THÖÙC COÂ-SI Sö dông bÊt ®¼ng thøc (B§T) ® biÕt m ®Æc biÖt l B§T C«-si l ph−¬ng ph¸p th−êng ®−îc ¸p dông ®Ó gi¶i c¸c b i to¸n vÒ B§T nãi chung. Nh÷ng b i to¸n cùc trÞ, nhÊt l tr−êng hîp cã thªm c¸c ®iÒu kiÖn phô th−êng g©y khã kh¨n cho ng−êi gi¶i trong viÖc −íc l−îng hÖ sè v xÐt ®iÒu kiÖn ®Ó dÊu ®¶ng thøc xÈy ra. B i viÕt n y tr×nh b y métph−¬ng ph¸p ®¸nh gi¸ th«ng qua B§T C«-si ®Ó tõ ®ã, chuyÓn b i to¸n cùc trÞ vÒ viÖc gi¶imét ph−¬ng tr×nh (PT) hoÆc hÖ ph−¬ng tr×nh (HPT) m viÖc gi¶i quyÕt l dÔ d ng hoÆc cã®−êng lèi râ r ng h¬n, ®ã l ph−¬ng ph¸p c©n b»ng hÖ sè Còng tõ ph−¬ng ph¸p n y, víi mét chót s¸ng t¹o, chóng ta cã thÓ tæng qu¸t v t¹o ra®−îc nh÷ng b i to¸n míi. Tr−íc hÕt xin nªu l¹i m kh«ng chøng minh hai B§T quen thuéc sau: i) B§T C«-si tæng qu¸t: a1 + a2 + ... + an ≥ n n a1a2 ...an ii) B§T C«-si suy réng: 1 α1a1 + α 2 a2 + ... + α n an ≥ (α1 + α 2 + ... + an ) ( a1 a2 ...an α1 α 2 αn ) a1 + a2 +...+ an Trong hai B§T trªn th× a1 , a2 ,..., an kh«ng ©m, α1 , α 2 ,..., α n d−¬ng v dÊu ®¼ng thøc xÈyra khi v chØ khi a1 = a2 = ... = an . Chóng ta b¾t ®Çu tï b i to¸n sau: VÝ dô 1. Cho c¸c sè thùc d−¬ng x, y tháa m n ®iÒu kiÖn x3 + y 3 = 1 (1). T×m gi¸ trÞ lín nhÊt (Max) cña biÓu thøc P( x; y ) = x + y Ph−¬ng ph¸p suy luËn: Sù chªnh lÖch vÒ sè mò cña c¸c biÓu thøc x3 + y 3 v P( x; y ) = x + y gîi cho tasö dông B§T C«-si ®Ó h¹ bËc cña x3 + y 3 . Nh−ng ta cÇn ¸p dông cho bao nhiªu sè v lnh÷ng sè n o? C¨n cø v o bËc cña c¸c biÕn sè x v y trong c¸c biÓu thøc trªn, ta thÊy cÇnph¶i ¸p dông B§T C«-si lÇn l−ît cho x3 v y 3 cïng víi 5 h»ng sè d−¬ng t−¬ng øng kh¸c ®Ó l m xuÊt hiÖn x v y . MÆt kh¸c do x, y d−¬ng v vai trß cña chóng nh− nhau 1nªn ta dù ®o¸n P ( x; y ) ®¹t Max khi x = y . Tõ (1) suy ra x = y = v ta ®i ®Õn lêi gi¶i 3 2nh− sau. t ne 1 Lêi gi¶i. ¸p dông B§T C«-si cho 6 sè d−¬ng: 1 sè x3 v 5 sè , ta cã: 2 h. 5 5 1 1 − 1 x3 + 5. ≥ 6 6 x3 .   = 6.2 6 x DÊu “=” xÈy ra ⇔ x = 3 at 2 2 2 T−¬ng tù nh− vËy: sm 5 5 1 1 − DÊu “=” xÈy ra ⇔ y = 1 y + 5. ≥ 6 6 y 3 .   = 6.2 6 y 3 .h 2 3 2 2 ( ) 5 w − Céng theo vÕ c¸c B§T trªn ta ®−îc: ( x 3 + y 3 ) + 5 ≥ 6.2 6 x + y (2) w 1 DÊu “=” xÈy ra ⇔ x = y = 3 . w 2 www.hsmath.net Tõ (1) v ...