Cấp của một số nguyên và ứng dụng

Trong lí thuyết nhóm, cấp của một phần tử là một trong những khái niệm quan trọng và có nhiều ứng dụng. Việc tìm hiểu những tính chất và ứng dụng về cấp của một phần tử là rất cần thiết đối với các sinh viên sư phạm, các giảng viên dạy chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số. Bài viết này sẽ trình bày một số tính chất quan trọng về cấp của một số nguyên và ứng dụng của nó trong số học.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Cấp của một số nguyên và ứng dụngTrần Thị Hồng MinhTạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆ135(05): 67 - 70CẤP CỦA MỘT SỐ NGUYÊN VÀ ỨNG DỤNGTrần Thị Hồng Minh*Trường ĐH Sư phạm – ĐH Thái NguyênTÓM TẮTTrong lí thuyết nhóm, cấp của một phần tử là một trong những khái niệm quan trọng và có nhiềuứng dụng. Việc tìm hiểu những tính chất và ứng dụng về cấp của một phần tử là rất cần thiết đối với cácsinh viên sư phạm, các giảng viên dạy chuyên ngành Đại số và Lý thuyết số. Bài viết này sẽ trình bàymột số tính chất quan trọng về cấp của một số nguyên và ứng dụng của nó trong số học.Từ khóa: số nguyên, phần tử, khái niệm, Đại số, Lý thuyết sốCƠ SỞ LÍ THUYẾT*Định nghĩaĐịnh nghĩa 1.1.1 ([2]). Cho một nhóm hữuhạn G có phần tử đơn vị là e . Cấp của phầntử u  G là số nguyên dương nhỏ nhất nthỏa mãn u  e .Định nghĩa 1.1.2. Cho n  1 và a là các sốnguyên dương thỏa mãn gcd(a, n)  1 . Sốnnguyên dươngk nhỏ nhất thỏa mãna k  1 (mod n) được gọi là cấp của a theomodulo n , kí hiệu là k  ordn (a) .Chú ý. Cấp của a định nghĩa như trên chính làcấp*ncủatrongnhóma a a  , gcd(a, n)  1 với phép nhâna.b  ab .Một số tính chấtĐịnh lý 1.2.1 ([2]). Với các giả thiết nhưtrong Định nghĩa 1.1.1 và x nguyên dươngthìHệquả1.2.2.Chon  1,gcd  a, n   1 .a, nthỏaKhimãnđó  n  ord n  a  .MỘT SỐ VÍ DỤ ỨNG DỤNG CẤP CỦAMỘT SỐ NGUYÊN TRONG SỐ HỌCVí dụ 1 (6th IMO) a)Tìm tất cả các số nguyêndương n sao cho 2  1 7 .b) Chứng minh rằng với mọi số nguyênndương n thì 2  1 7 .nChứng minh. a) Ta có ord7  2   3vì21  2  mod 7  ,22  4  mod 7  ,23  1 mod 7 Do đó2n  1 mod 7   n 3  n  3k ,với k nguyên dương.b) Giả sử tồn tại n nguyên dương sao cho2n  1 mod 7  . Khi đóa x  1 (mod n)  ord n (a) | x .22n  1  mod 7   2n 3  n 3 .Chứng minh. Giả sử a  1 (mod n) . ĐặtMặt khác, n 3 thì 2  1 mod 7  . Từ đóxk = ordn (a) . Áp dụng thuật toán Euclid thìx  kq  r ,0  r  k.Khi 1  a x  akđóq a r  mod n  .Suy ra a  1 mod n  . Từ đó suy ra r  0 .rVậy k | x .Chiều ngược lại hiển nhiên.*Tel: 0973 268338, Email: minh.tranhong.md@gmail.comncó điều phải chứng minh.Ví dụ 2 (IMO Sorlist 2006). Tìm tất cả cáccặp số nguyên dương x, y thỏa mãnx7  1 y5  1.x 1Chứng minh. Giả sử p không đồng dư với1 modulo 7 , và là ước nguyên tố củax7  1 x 6  x5  x 4  x3  x 2  1x 167Nitro PDF Software100 Portable Document LaneWonderlandTrần Thị Hồng MinhTạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆk  ord x  p  .ĐặtKhiđóx7  1 mod p   7 k . Theo định lýFermat nhỏ thì p  1 k . Vì p không đồngdư với 1 modulo 7 nên gcd  7, p  1  1 .Từ đó suy ra k  1 hay x  1 mod p  .1Ta lại có0  x6  x5  ...  1  7  mod p   p  7x 1thìx 1m  0  mod 7  hoặc m  1 mod 7  .7Nhưvậy,nếumMặt khácx7  1 5x7  1 y  1   y  1 y 4  y3  ...  1  y  1|x 1x 143 y  1,2  mod 7   y  y  ...  1  5,3 mod 7 vô lí.Vậy không tồn tại x, y thỏa mãn yêu cầu bàitoán.Ví dụ 3. Cho p là số nguyên tố dạng4k  1. Giả sử rằng 2 p  1 cũng là sốnguyên tố. Chứng minh rằng không tồn tại sốtự nhiên ksao cho k  2 p và2k  1 mod 2 p  1 .Chứng minh. Giả sử rằng có số tự nhiên knhư vậy. Đặt t  ord 2 p 1 (2) , ta được2t  1  mod 2p 1  t |  2 p  1  1  2 pTheo bài ra ta có2h  1 mod 2 p  1  t | k .Mặt khác k  2 p suy ra t  1 hoặc t  2hoặc t  p .Vì p là số nguyên tố dạng 4k  1 nênp  5 , t  1, t  2  t  p . Suy ra:2t 1  2  mod 2 p  1Do đó 2 (kí hiệu Legendre). 12p1Điềunàylà2 p  1  3 mod 8khôngthểvì135(05): 67 - 70Vậy có điều phải chứng minh.Ví dụ 4. Cho p là một số nguyên tố. Chứngminh rằng tồn tại một số nguyên tố q sao chovới mọi số nguyên dương n ta cónp  p q .Chứng minh. Ta cóp p  1 p 1 p  2 p  p  ...  1  p  1  1(mod p 2 )p 1Nếu tất cả các ước nguyên tố củap p 1p 1đều đồng dư với 1 modulop 2 thìp p 1 1 mod p 2 , vô lý. Vậy tồn tạip 1ước nguyên tố q củap p 1sao chop 1q  1 mod p 2 . Ta sẽ chứng minh số qnhư vậy thỏa mãn bài toán.Trước tiên, ta thấy rằng:+) Nếu p  1 q thì p  1 mod q  suy rap p  1 mod q  .+) Nếu p  1 q thì gcd  p  1, q   1 . Màp p 1q  p p  1 q  p p  1 mod q p 1 1 mod q  .Giả sử rằng tồn tại n nguyên dương sao chon p  p  mod q  . Khi đó. Vậy ta luôn có pp2n p  p p  1(mod q) .Đặt k  ord q  n  thìk  1.k | p  k  p2k  p21+)Nếu k  1  n  1 mod q   p  1 mod q  Mà q |p p 1  p p  2  ...  1  p  mod q p p 1 p 1p2p 168Nitro PDF Software100 Portable Document LaneWonderlandpp ...  1Trần Thị Hồng MinhTạp chí KHOA HỌC & CÔNG NGHỆnên p  0  mod q  , vô lí.+)Nếu135(05): 67 - 70Vậy có điều phải chứng minh.Ví dụ 7. Tìm tất cả các bộ  p, q, r  nguyênk  p ...