Chương 1: Tích phân bội (Multiple Integrals)

Chương 1: Tích phân bội (Multiple Integrals) cung cấp cho các bạn những kiến thức về tích phân kép trên hình chữ nhật (double integrals over rectangles); tích phân lặp (iterated integrals); tích phân kép trên miền tổng quát (double integrals over general regions);tích phân kép trong tọa độ cực (double integrals in polar coordinates).
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chương 1: Tích phân bội (Multiple Integrals) Chương 1: TÍCH PHÂN BỘI (MULTIPLE INTEGRALS)1.1 TÍCH PHÂN KÉP TRÊN HÌNH CHỮ NHẬT (DOUBLE INTEGRALS OVER RECTANGLES) CÁC ĐƯỜNG BẬC HAI VÀ MẶT BẬC HAI (QUADRATIC CURVES & SURFACES) Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy, đường bậc hai là đường có phương trình dạng: ax 2  2bxy  cy 2  dx  ey  f  0 trong đó a, b, c, d, e, f là các số thực. Trong hệ tọa độ vuông góc Oxyz, mặt bậc hai là mặt có phương trình dạng: ax 2  by 2  cz 2  2dxy  2exz  2 fyz  gx  hy  kz  m  0 trong đó a, b, c, d, e, f, g, h, k, m là các số thực. Sau đây ta nhắc lại các đường và mặt bậc hai cơ bản: x2 y2 (1) 2  2  1 (đường elip) a b x2 y 2 (2)  1 (đường hyperbol) a2 b2 (3) y 2  2 px (đường parabol) x2 y 2 z 2 (4) 2  2  2  1 (mặt elipcoid) a b c x2 y 2 z 2 (5)   1 (mặt hyperbolid 1 tầng) a 2 b2 c 2 x2 y 2 z 2 (6) 2  2  2  1 (mặt hyperbolid 2 tầng) a b c x2 y 2 (7)  p q  2z  p, q    *  (mặt parabolid eliptic) x2 y 2 (8)  p q  2z  p, q    *  (mặt parabolid hyperbol) x2 y 2 z 2 (9)   0 (mặt nón) a 2 b2 c 2 (10) Các mặt trụ bậc hai: elip, hyperbol, parabol. THỂ TÍCH VÀ TÍCH PHÂN KÉP (VOLUMES AND DOUBLE INTEGRALS) Xét hàm hai biến f trên hình chữ nhật đóng: R   a, b   c, d    x, y    2 / a  x  b, c  y  d  và giả sử f  x, y   0 . Đồ thị của f là mặt có phương trình: z  f  x, y  Gọi S là khối nằm trên R và nằm dưới đồ thị của f : TCC_A3/Chương 1 _ Tích phân bội/ Trang1S   x, y, z    3 / 0  f  x, y   z,  x, y   RĐể tìm thể tích của S, trước tiên ta chia hình chữnhật R thành các hình chữ nhật con, bằng cáchchia khoảng  a, b thành m khoảng con  xi 1 , xi  bacó chiều rộng cùng bằng x  , và chia mkhoảng  c, d  thành n khoảng con  yi 1 , yi  có d cchiều rộng cùng bằng y  . nBằng cách vẽ các đường thẳng song song với các trụctọa độ qua các điểm biên của các khoảng con này tasẽ thu được các hình chữ nhật:Rij   xi 1 , xi    yi 1 , yi    x, y  / xi 1  x  xi , yi 1  y  yi Mỗi hình chữ nhật có diện tích là A  x.y .Chọn điểm mẫu  xij * , yij *   Rij , xấp xỉ phần của S nằmtrên mỗi Rij bởi một hình hộp chữ nhật có đáy là Rij vàchiều cao là f  xij * , yij *  . Thể tích của mỗi hộp này làf  xij * , yij *  A .Xấp xỉ của tổng thể tích V của S là: m n V   f  xij * , yij *  A i 1 j 1Khi m và n càng lớn thì xấp xỉ này càng tốt, vậy: m n V  lim m , n   f  x i 1 j 1 ij * , yij *  A ĐỊNH NGHĨA: Tích phân kép (double integral) của hàm số f trên hình chữ nhật R là m n  f  x, y  dA  lim m , n   f  x i 1 j 1 ij * , yij *  A , nếu giới hạn này tồn tại. R Khi đó ta nói f khả tích (integrable).Điểm mẫu  xij * , yij *  có thể được chọn ở bất kì đâu trên hình chữ nhật Rij , nhưng nếu chọncác điểm mẫu tại góc trên, bên phải của Rij (điểm ( xi , yi ) ) thì tích phân kép sẽ đơn giản hơn: m n  f  x, y  dA  lim  ...