Chương 2: Các phương pháp chứng minh

Chứng minh bất đẳng thức đồi hỏi kỹ năng và kinh nghiệm. Không thể khơi khơi mà ta đâm đầu vào chứng minh khi gặp một bài bất đẳng thức. Ta sẽ xem nó thuộc dạng toán nào nên dùng phương pháp nào để chứng minh. Lúc đó chứng minh bất đẳng thức mới thành công.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chương 2: Các phương pháp chứng minhTrư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minhChương 2 : Các phương pháp ch ng minh Ch ng minh b t ñ ng th c ñòi h i k năng và kinh nghi m. Không th khơi khơi mà tañâm ñ u vào ch ng minh khi g p m t bài b t ñ ng th c. Ta s xem xét nó thu c d ng bàinào, nên dùng phương pháp nào ñ ch ng minh. Lúc ñó vi c ch ng minh b t ñ ng th cm i thành công ñư c. Như v y, ñ có th ñương ñ u v i các b t ñ ng th c lư ng giác, b n ñ c c n n m v ngcác phương pháp ch ng minh. ðó s là kim ch nam cho các bài b t ñ ng th c. Nh ngphương pháp ñó cũng r t phong phú và ña d ng : t ng h p, phân tích, quy ư c ñúng, ư clư ng non già, ñ i bi n, ch n ph n t c c tr … Nhưng theo ý ki n ch quan c a mình,nh ng phương pháp th t s c n thi t và thông d ng s ñư c tác gi gi i thi u trongchương 2 : “Các phương pháp ch ng minh”. M cl c: 2.1. Bi n ñ i lư ng giác tương ñương ………………………………………... 32 2.2. S d ng các bư c ñ u cơ s ……………………………………………... 38 2.3. ðưa v vector và tích vô hư ng ………………………………………….. 46 2.4. K t h p các b t ñ ng th c c ñi n ……………………………………….. 48 2.5. T n d ng tính ñơn di u c a hàm s ……………………………………… 57 2.6. Bài t p ……………………………………………………………………. 64The Inequalities Trigonometry 31Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh2.1. Bi n ñ i lư ng giác tương ñương : Có th nói phương pháp này là m t phương pháp “xưa như Trái ð t”. Nó s d ng cáccông th c lư ng giác và s bi n ñ i qua l i gi a các b t ñ ng th c. ð có th s d ngt t phương pháp này b n ñ c c n trang b cho mình nh ng ki n th c c n thi t v bi n ñ ilư ng giác (b n ñ c có th tham kh o thêm ph n 1.2. Các ñ ng th c,b t ñ ng th ctrong tam giác). Thông thư ng thì v i phương pháp này, ta s ñưa b t ñ ng th c c n ch ng minh vd ng b t ñ ng th c ñúng hay quen thu c. Ngoài ra, ta cũng có th s d ng hai k t ququen thu c sin x ≤ 1 ; cos x ≤ 1 .Ví d 2.1.1. π 1 − sin CMR : 14 > 3 cos π π 7 2 sin 14L i gi i : Ta có : π 3π π 5π 3π 7π 5π 1 − sin = sin − sin + sin − sin + sin − sin 14 14 14 14 14 14 14 π  π 2π 3π  = 2 sin  cos + cos + cos  14  7 7 7  π 1 − sin ⇒ 14 = cos π + cos 2π + cos 3π (1) π 7 7 7 2 sin 14 M t khác ta có : π 1 π 3π 5π π 4π 2π  cos =  cos + cos + cos + cos + cos + cos  7 2 7 7 7 7 7 7  π 2π 2π 3π 3π π = cos cos + cos cos + cos cos (2) 7 7 7 7 7 7 π 2π 3π ð t x = cos ; y = cos ; z = cos 7 7 7 Khi ñó t (1), (2) ta có b t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : x + y + z > 3( xy + yz + zx ) (3) mà x, y, z > 0 nên : (3) ⇔ (x − y )2 + ( y − z )2 + (z − x )2 >0 (4 )The Inequalities Trigonometry 32Trư ng THPT chuyên Lý T Tr ng – C n Thơ B t ñ ng th c lư ng giác Chương 2 Các phương pháp ch ng minh Vì x, y, z ñôi m t khác nhau nên (4) ñúng ⇒ ñpcm. Như v y, v i các b t ñ ng th c như trên thì vi c bi n ñ i lư ng giác là quy t ñ nhs ng còn v i vi c ch ng minh b t ñ ng th c. Sau khi s d ng các bi n ñ i thì vi c gi iquy t b t ñ ng th c tr nên d dàng th m chí là hi n nhiên (!).Ví d 2.1.2. CMR : a 2 + b 2 + c 2 ≥ 2(ab sin 3x + ca cos 2 x − bc sin x )L i gi i : B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương v i : ( ) ( )a sin 2 2 x + cos 2 2 x + b 2 sin 2 x + cos 2 x + c 2 ≥ 2ab(sin x cos 2 x + sin 2 x cos x ) + 2 + 2ca cos 2 x − 2bc sin x (⇔ a 2 cos 2 2 x + b 2 sin 2 x + c 2 − 2ab cos 2 x sin x − 2ca cos 2 x + 2bc sin x ) ( ...