Chương 2 : Phép tính tích phân hàm một biến

Nếu giới hạn tồn tại hữu hạn thì ta nói tích phân hội tụ,ngược lại nếu giới hạn không tồn tại hoặc bằng vô cùng thì tích phân phân kỳ. Hai vấn đề đối với tích phân suy rộng: tính tích phân suy rộng
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chương 2 : Phép tính tích phân hàm một biếnCh ng 2. Phép tính tích phân hàm m t bi n §1. TÍCH PHÂN SUY R NG1.1. Tích phân suy r ng lo i m t (Tích phân v i c n vô t n)1.1.1. nh ngh a. Cho hàm f xác nh trên a, , kh tích trên bm i o n a, b , a b . Gi i h n lim f x dx (n u có) c g i là b atích phân suy r ng lo i m t c a hàm f trên a, và ký hi u là: b f x dx lim f x dx b a a nh ngh a t ng t , ta c ng có các tích phân suy r ng lo i m t sau: b b a f x dx lim f x dx ; f x dx f x dx f x dx a a a N u gi i h n t n t i h u h n thì ta nói tích phân h i t , ng cl in u gi i h n không t n t i ho c b ng vô cùng thì tích phân phân k . Hai v n i v i tích phân suy r ng: – Tính tích phân suy r ng (th ng là khó) – Kh o sát s h i tChú ý. Gi s F là nguyên hàm c a f trên a, , khi ó b f x dx lim f x dx lim F b F a b b a aN u t n t i lim F b F thì b f x dx F x a F F a a T ng t i v i các tích phân còn l i. dxVD 1. Tính I 0 1 x2 arctan xVD 2. Tính I dx 2 3/ 2 0 1 x 2xVD 3. Tính I e cos xdx 0 dxVD4. Tính I ; (a > 0, ) a x K t qu c s d ng kh o sát s h i t : dxI ; (a > 0, )h it n u > 1 và phân k n u 1 a x1.1.2. Các tiêu chu n h i t1. Tr ng h p hàm không âm. nh lý. (Tiêu chu n so sánh 1)Gi s f, g là các hàm kh tích trên a, và 0 f x g x ; x a, . Khi ói) N u g x dx h i t thì f x dx h i t a aii) N u f x dx phân k thì g x dx phân k a aChú ý. kh o sát s h i t c a I f x dx ta th ng so sánh a dxv i tích phân ã bi t k t qu a x dxVD 1. Kh o sát s h i t I 1 x 1 x2 dxVD 2. Kh o sát s h i t I 1 2x2 sin 2 3x ln3 xdxVD 3. Kh o sát s h i t I 1 x 5H qu . (Tiêu chu n so sánh 2)Gi s f, g là các hàm kh tích trên a, ,f x 0, g x 0; f x x a, và lim A . Khi ó x g x i) N u A = 0 và g x dx h i t thì f x dx h i t a aii) N u A và g x dx phân k thì f x dx phân k a aiii) N u 0 < A < thì f x dx và g x dx cùng HT ho c a acùng PKChú ý. N u f, g th a mãn các i u ki n c a H qu trên và f g,khi x thì f x dx và g x dx cùng HT ho c cùng PK a a x3/ 2VD 1. Kh o sát s h i t I 2 dx 1 1 x dxVD2. Kh o sát s h i t I 1 ...