Chương 4: Phép tính vi phân của hàm nhiều biến

Tham khảo tài liệu chương 4: phép tính vi phân của hàm nhiều biến, khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chương 4: Phép tính vi phân của hàm nhiều biếnChương 4PHÉP TÍNH VI PHÂN C A HÀMNHI U BI N4.1 Khái ni m m đ u Không gian Rn4.1.1 a. Không gian Rn T p Rn = R.R....R = {(x1 , x2 , ..., xn ), xi ∈ R, i = 1, 2, ..., n}. | {z } n Cho x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn , y = (y1 , y2 , ...yn ) ∈ Rn , k ∈ R ta có x + y = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn , y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn kx = (kx1 , kx2 , ..., kxn ) ∈ R Khi đó Rn cùng hai phép toán trên l p thành không gian vector. b. Kho ng cách, chu n trong Rn Gi s M (x1 , x2 , ..., xn ) , N (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn . Kho ng cách gi a hai đi m M và N, kí hi ud(M, N ), đư c đ nh nghĩa b ng 1 n ‹ X (xi − yi ) 2 d(M, N ) = i=1 Chú ý: ∀A, B, C ∈ R thì d(A, C ) ≤ d(A, B ) + d(B, C ) (b t đ ng th c tam giác). Ta g i chu n c a x = (x1 , x2 , ...xn ) ∈ Rn là s È x2 + x2 + ... + x2 . ||x|| = 1 2 n N u n = 1 thì ||x|| = |x|. c. Lân c n, đi m t M0 ∈ R. Ta g i −lân c n c a M0 là t p h p t t c nh ng đi m M ∈ R sao cho d(M0 , M ) < .Ta cũng g i m i t p h p ch a m t -lân c n c a M0 là lân c n c a đi m M0 . Kí hi u B (a). Cho X ⊂ Rn . Đi m a ∈ Rn g i là đi m t c a t p X n u m i > 0, B (a) đ u ch a nh ng đi mthu c X khác a. (∀ > 0, ∃x ∈ X : 0 < ||x − a|| < .)4.1.2 Đ nh nghĩa hàm s nhi u bi n sĐ nh nghĩa 4.1. Cho t p X ⊂ Rn . M t quy t c f đ t tương ng m i đi m x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Xv i m t s th c u = f (x1 , x2 , ...xn ) ∈ Rn g i là m t hàm n bi n s có mi n xác đ nh là t p X . Kí hi u u = f (x), x ∈ X ho c x → f (x), x ∈ X. 39http://maths3.wordpress.comVí d 4.1. f (x, y ) = ln(1 − x2 − y 2 ) là hàm hai bi n có mi n xác đ nh là hình tròn m (không kbiên) tâm O, bán kính 1. xyz là hàm ba bi n có mi n xác đ nh là R3 \{0, 0, 0}Ví d 4.2. f (x, y, z ) = 2 x + y2 + z24.1.3 Gi i h n c a hàm s nhi u bi n s 1. Đ nh nghĩa.Đ nh nghĩa 4.2. Cho hàm u = f (x) xác đ nh trên t p X ⊂ Rn , a là m t đi m t c a X . Khi đóta nói hàm f (x) có gi i h n là A khi x d n đ n a n u m i dãy {ak } ⊂ {a} mà lim ak = a ta đ u có x→∞ lim {ak } = A.x→∞ Kí hi u x→af (x) = A hay f (x) → A, x → a. lim Chú ý r ng, x = (x1 , x2 , ...xn ) → a = (a1 , a2 , ...an ) khi xi → ai (i = 1, ..., n). 2. Tính ch t i) Gi i h n c a hàm s nhi u bi n là duy nh t. ii) N u có x→a f (x) = A, x→a g (x) = B thì lim lim lim (f (x) ± g (x)) = A ± B ; x→a lim f (x) g (x) = AB ; x→a f (x) A lim = (B = 0) . x→a g (x) B 3. Ví d 2x − 3Ví d 4.3. Tính lim x2 + y 2 x→ 0 y →1 2x − 3 có mi n xác đ nh R2 \{0, 0}. HD. Hàm f (x) = 2 x + y2 2xn − 3 2.0 − 3 Xét dãy tuỳ ý {(xn , yn )} ⊂ R2 \ {(0, 0) ; (0, 1)} , xn → 0, yn → 1 ta có: →2 = −3 2 + y2 0 + 12 xn n V y, limf (x) = −3 x→ 0 y →1 xVí d 4.4. Tính lim x→ 0 y − x y →0 1 2 xn thì (xn , yn ) → (0, 0) và = 1 → 1. M t khác n u ta HD. Ch n dãy xn = , yn = y n − xn n n 1 3 xn 1 1 = → . Như v y gi i h n trên là không t n t i.ch n dãy xn = , yn = thì và y n − xn n n 2 2 4. Gi i h n l p Cho hàm hai bi n f (x, y ) xác đ nh trên t p X , (x0 , y0 ) là đi m t c a t p X , v i y = y0 đ t :g (y ) = lim f (x, y ) . x→x0 N u t n t i lim g (y ) = A thì ta g i A là gi i h n l p c a hàm f (x, y ) khi x → x0 , y → y0 và y →y0kí hi u là : ylim xlim f (x, y ) . →y →x 0 0 Tương t ta có gi i h n l p : lim lim f (x, y ) . x→x0 y →y0 40http://maths3.wordpress.com x lim lim = lim 0 = 0 y − x y →0 y →0 x→0Ví d 4.5. a. x x = −1 lim lim = lim x→0 y ...