Chương 4. Tích phân bất định

Trong chương này ta luôn giả thiết a, b là các số thực, a
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chương 4. Tích phân bất định Ch¬ng 4. TÝch ph©n bÊt ®Þnh 4.1. Nguyªn hµm vµ ®Þnh nghÜa tÝch ph©n bÊt ®Þnh. 4.1.1. Nguyªn hµm. Trong ch¬ng nµy ta lu«n gi¶ thiÕt a, b lµ c¸c sè thùc, a < b. §Þnh nhÜa 4.1. Hµm F(x) ®îc gäi lµ nguyªn hµm cña hµm f(x) trªn (a;b), nÕu: F′ (x) = f(x) (∀x ∈ (a;b)). VÝ dô 4.1. x2 x2 , Φ(x) = + 4 trªn (−∞;+∞ ). V×: (i) f(x) = x cã c¸c nguyªn hµm F(x) = 2 2 F′ (x) = x = f(x); Φ ′ (x) = x = f(x) (∀x ∈ (−∞;+∞ )). − (ii) f(x) = x 1 cã nguyªn hµm F(x) = ln | x| trªn (−∞;+∞ )\{0} v×: − F′ (x) = x 1 = f(x) ) (∀x ∈ (−∞;+∞ )\{0}). §Þnh lý 4.1. NÕu F(x) lµ mét nguyªn hµm cña f(x) trªn (a;b). Khi ®ã, (i) Víi C lµ mét h»ng sè tuú ý th× F(x) + C còng lµ mét nguyªn hµm cña f(x) trªn (a;b). (ii) Mäi nguyªn hµm cña f(x) trªn (a;b) ®Òu cã d¹ng F(x) + K víi K lµ mét h»ng sè nµo ®ã. Chøng minh. (i) Víi C lµ mét h»ng sè tuú ý th× [F(x) + C]′ = F′ (x) = f(x) (∀x∈ (a;b)). VËy F(x) + C lµ mét nguyªn hµm cña f(x) trªn (a;b). (ii) Gi¶ sö Φ(x) còng lµ mét nguyªn hµm cña f(x) trªn (a;b). nghÜa lµ Φ ′ (x) = f(x) (∀x ∈ (a;b)). ⇒ [F(x) − Φ(x)]′ = F′ (x) − Φ ′ (x) = f(x) − f(x) = 0 (∀x ∈ (a;b)). ⇒ F(x) − Φ(x) = K (∀x ∈ (a;b)) víi K lµ mét h»ng sè nµo ®ã.(®pcm) ý nghÜa cña ®Þnh lý. NÕu f(x) cã nguyªn hµm trªn (a;b) th× nã cã v« sè nguyªn hµm trªn (a; b) vµ hai nguyªn hµm kh¸c nhau cña f(x) trªn (a;b) sai kh¸c nhau mét h»ng sè. §Þnh lý 4.2. NÕu f(x) liªn tôc trªn (a;b) th× nã cã nguyªn hµm trªn (a; b). 1 Chó thÝch (i) §Þnh nghÜa 4.1 vµ c¸c ®Þnh lý 4.1, 4.2 cßn ®óng khi thay (a; b) b»ng [a; b]. V× vËy nã vÉn ®óng khi thay ( a; b) b»ng X lµ hîp cña c¸c tËp cã d¹ng (a; b) vµ [c; d] víi a, b, c, d, lµ c¸c sè thùc bÊt kú. (ii) Trong ch¬ng nµy, ta chØ xÐt ®Õn nguyªn hµm cña c¸c hµm liªn tôc. NÕu hµm ®îc cho cô thÓ vµ cã c¸c ®iÓm gi¸n ®o¹n, th× ta chØ kh¶o s¸t nguyªn hµm cña nã trªn c¸c kho¶ng mµ nã liªn tôc. V× vËy, khi ®· thõa nhËn ®Þnh lý 4.2 th× mçi khi tÝnh nguyªn hµm cña mét hµm nµo ®ã ta kh«ng cÇn xÐt sù tån t¹i nguyªn hµm cña nã n÷a. 4.1.2. §Þnh nghÜa tÝch ph©n bÊt ®Þnh. §Þnh nghÜa 4.2. NÕu F(x) lµ mét nguyªn hµm cña f(x) trªn (a;b). Th× biÓu thøc F(x) + C víi C lµ mét h»ng sè tuú ý, ® îc gäi lµ tÝch ph©n bÊt ®Þnh cña hµm f (x) trªn (a;b) vµ ký hiÖu lµ: ∫ f ( x) dx . Trong ®ã, ∫ ®îc gäi lµ dÊu tÝch ph©n; f(x) ®îc gäi lµ hµm sè díi dÊu tÝch ph©n; f(x)dx ®îc gäi lµ biÓu thøc díi dÊu tÝch ph©n; x lµ biÕn sè lÊy tÝch ph©n. VËy: ∫ f ( x ) d x = F(x) + C. 2 x d x = x + C; (ii) (i) ∫ ∫ cos xd x = − sin x + VÝ dô 4.2. C. 2 4.1.3. TÝnh chÊt cña tÝch ph©n bÊt ®Þnh. TÝnh chÊt 4.1. NÕu f(x) cã nguyªn hµm trªn (a;b) th×: ′  ∫ f ( x ) d x  = f ( x ) (∀x ∈ (a;b));   d  ∫ f ( x ) d x  = f ( x ) d x (∀x ∈ (a;b)).   TÝnh chÊt 4.2. NÕu F(x) lµ hµm kh¶ vi trªn (a;b) th×: ∫ d  F ( x )  = F(x) + C (∀x ∈ (a;b)).   TÝnh chÊt 4.3. NÕu f(x), h(x) cã nguyªn hµm trªn (a;b) th×: 2 ∫ f ( x) ± h ( x)  dx = ∫ f ( x) dx ± ∫ h ( x) dx ;   ∫ k f ( x ) d x = k ∫ f ( x ) d x víi k lµ h»ng sè tuú ý. 4.1.4. B¶ng tÝch ph©n c¬ b¶n. ∫ f ( x ) d x trªn (a;b) chØ NhËn xÐt 4.1. Tõ ®Þnh nghÜa 4.2 ta thÊy muèn tÝnh cÇn t×m mét nguyªn hµm cña f(x) trªn (a;b) råi céng víi C. Tõ ®ã ta cã b¶ng tÝch ph©n c¬ b¶n sau:(víi a > 0 ) x α+1 dx ∫ x = ln x + C ∫ x d x = α + 1 + C (α ≠ −1) α ax ∫ e dx = e x x +C ∫ a d x ...