Chương 4: Tích phân bội ba

Định nghĩa, cách tính tích phân bội ba: f = f ( x , y , z ) xác định trên vật thể đóng, bị chặn EChia E một cách tùy ý ra thành n khối nhỏ: E1,E2,...,En.Thể tích tương ứng mỗi khối V ( E 1 ) , V ( E 2 ) , . . . , V (En ).Trên mỗi khối E i lấy tuỳ ý một điểmM i ( x i , y i , z i ) .Lập tổng Riemann:1( ) ( )nn i iiI f M V E==
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chương 4: Tích phân bội baTrường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh Bộ môn Toán Ứng dụng ------------------------------------------------------------------------------------- Giải tích hàm nhiều biến Chương 4: Tích phân bội ba • Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (4/2008) dangvvinh@hcmut.edu.vn Nội dung---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------0.1 – Định nghĩa, cách tính tích phân bội ba0.2 – Tọa độ trụ0.3 – Tọa độ cầu0.4 – Ứng dụng hình học0.5 – Ứng dụng cơ học I. Định nghĩa, cách tính tích phân bội ba--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- f = f ( x, y , z ) xác định trên vật thể đóng, bị chặn E Chia E một cách tùy ý ra thành n khối nhỏ: E1 , E2 ,..., En . Thể tích tương ứng mỗi khối V ( E1 ),V ( E2 ),...,V ( En ). Trên mỗi khối Ei lấy tuỳ ý một điểmM i ( xi , yi , zi ). n Lập tổng Riemann: I n = f ( M i ) V ( Ei ) i =1 I = lim I n , không phụ thuộc cách chia E, và cách lấy điểm Mi + n I = � f ( x, y , z )dxdydz � � E được gọi là tích phân bội ba của f=f(x,y,z) trên khối E. I. Định nghĩa, cách tính tích phân kép---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Tính chất của tích phân bội ba 1) Hàm liên tục trên một khối đóng, bị chặn, có biên là mặt trơn tùng khúc thì khả tích trên miền này. 2) VE = �dxdydz �� E 3) �α � ( x, y, z )dxdydz =α � f ( x, y, z )dxdydz �f � � � E E 4) �( f + g )dxdydz = � f dxdydz + �gdxdydz �� � � �� E E E 5) Nếu E được chia làm hai khối E1 và E2 không dẫm lên nhau: � fdxdydz = � fdxdydz + � fdxdydz � � � � � � E E1 E2 6) ∀( x, y, z ) Σ E , f ( x, y, z ) g ( x, y , z ) �f �g � � �� E E I = � f ( x, y , z )dxdydzĐịnh lý (Fubini) � � E z = z 2 ( x, y )Phân tích khối E: Chọn mặt chiếu là x0y. Mặt phía dưới: z = z1 ( x, y ) Mặt phía trên: z = z 2 ( x, y ) Hình chiếu: Pr0 xy E = D z = z1 ( x, y ) I = � f ( x, y , z )dxdydz � � E � ( x, y ) � z2 = � � f ( x, y, z )dz � dxdy � � D �( x, y ) � z1 Hình chiếu: DVí dụTính tích phân bội ba I = �( x + z )dxdydz trong đó E là vật thể giới hạn bởi �� E x 2 + y 2 = 1, z = 2 − x 2 − y 2 , z = 0Hình chiếu của E xuống 0xy: D : x2 + y 2 1 2 2Mặt phía trên: z2 ( x, y ) = 2 − x − y Mặt phía dưới: z = 0 � x2 − y 2 � 2− I = � � � ( x + z )dz � dxdy � x2 + y 2 1 � 0 � 2− x 2 − y 2 � z2 �I = � �z + � �x dxdy 2� x2 + y 2 1 � 0 � (2 − x 2 − y 2 ) 2 �I = � �(2 − x 2 − y 2 ) + �x dxdy � 2 x2 + y 2 1� � (2 − x 2 − y 2 ) 2I= � Đổi sang tọa độ cực. dxdy � 2 x2 + y 2 1 (2−r ) 2 2 2π 7π 1I = � ϕ� �� = d r dr 2 6 0 0Ví dụ I = �zdxdydzTính tích phân bội ba trong đó E là vật thể giới hạn bởi �� E y = 1 − x, z = 1 − x 2 và các mặt phẳng tọa độ, (phần z 0)Hình chiếu của E xuống 0xy: Tam giác OAB 2Mặt phía trên: z2 ( x, y ) = 1 − x Mặt phía dưới: z = 0 � x2 � 1− BI = � ��zdz �dxdy � ∆OAB �0 � A A � x2 �1−I = � ��zdz � dxdy � ∆OAB �0 � �2 1− x 2 � z � �I= � dxdy � ...