Chương 6: Khảo sát dãy số và phương trình sai phân (tt)

Tham khảo tài liệu chương 6: khảo sát dãy số và phương trình sai phân (tt), khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chương 6: Khảo sát dãy số và phương trình sai phân (tt)302 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phân √ √ √ √ u v2 − 1 = 3 v 2 − 1 + v, ∀u, v ∈ [ 3, +∞).L y phương trình th hai tr v theo v cho phương trình th nh t c a h tađư c √ √ √ √ √ √ u v 2 − 1 − v u2 − 1 = 3 v 2 − 1 − 3 u2 − 1 + v − u.Vi t l i phương trình này dư i d ng √ √ √ √ v 2 − 1 u − 3 − u2 − 1 v − 3 = v − u.Ta ch ng minh u = v. Gi s trái l i, u > v, khi đó v ph i âm. Ta ch ng √ t− 3 √minh v trái dương. Th t v y, xét hàm s f (t) = √t2 −1 , t 3. D th y, flà hàm đơn đi u tăng. Do đó ta có f (u) > f (v) √ √ u− 3 v− 3 √ >√ u2 − 1 v2 − 1 √ √ √ √ v 2 − 1 u − 3 > u2 − 1 v − 3 √ √ √ √ v 2 − 1 u − 3 − u2 − 1 v − 3 > 0.Đi u này ch ng t v trái dương. Ta có đi u vô lý. Do đó u = v. Xét phương trình √ √ = 3+ √ , ∈ [ 3, +∞). (∗) 2 −1 √ 1 1Vì ∈ [ 3, +∞) nên 0 < < 1. Do đó t n t i θ ∈ (0, π/2) sao cho = sin θ.Khi đó phương trình có d ng 1 √ 1 √ = = 3+ ⇔ (sin θ − cos θ) + 3 sin θ cos θ = 0. sin θ cos θ √Gi i phương trình (∗) v i đi u ki n ∈ [ 3, +∞) ta đư c nghi m duy nh t √ √ 1 3( 5 + 1) = = . sin θ 26.6. M t s l p phương trình sai phân phi tuy n có ch m 303V y, m i nghi m c a phương trình sai phân trên v i đi u ki n ban đ u thu c √[ 3, +∞) h i t đ n s dương √ √ 3( 5 + 1) = . 2Nh n xét 6.3. D th y r ng, n u (yn , zn ) là nghi m c a h phương trình saiphân yn+1 = βyn + αzn , y 0 = x0 , zn+1 = Byn + Azn, z0 = 1 ynthì xn = zn là nghi m c a phương trình (4.13). Do đó, vi c kh o sát s h i tc a nghi m phương trình (4.13) có th chuy n v vi c tìm nghi m (yn , zn ) c a ynh phương trình sai phân trên, sau đó tính gi i h n zn khi n ti n ra vô cùng.Tuy nhiên, cách này không g n b ng cách s d ng đ nh lý 6.16.V m t s phương trình sai phân h u t b c hai Trong m c này ta kh o sát s h i t c a nghi m phương trình sai phânsau βxn + α xn+1 = , (4.14) A + xn + Cxn−1trong đó n ∈ N và x0 , x1 là 2 s th c không âm cho trư c. Ta gi thi t cáctham s trong phương trình (4.14) là các s th c dương. Trong m c này ta luôn gi thi t f : [0, +∞) × [0, +∞) → [0, +∞) là hàmliên t c. Các b đ sau r t c n thi t đ kh o sát s h i t c a nghi m phươngtrình (4.14).B đ 6.1. N u m i nghi m c a phương trình xn+1 = f (xn , xn−1 ), n ∈ N, (x0 , x1 > 0 cho trư c) (4.15)h i t đ n m t s dương , thì h phương trình x = f (y, x),304 Chương 6. Kh o sát dãy s và phương trình sai phân y = f (x, y)có nghi m dương duy nh t x = y = .Ch ng minh: G i (x, y) là m t nghi m dương c a h phương trình trên. Xétphương trình (4.15) v i x1 = x và x0 = y. Th thì x2 = f (x1 , x0) = f (x, y) = yvà x3 = f (x2, x1 ) = f (y, x) = x. Ta ch ng minh b ng quy n p r ng x2k = yvà x2k+1 = x v i m i k. Gi s x2k = y, x2k+1 = x v i m t s t nhiên k nàođó, ta s ch ng minh x2(k+1) = y, x2(k+1)+1 = x. Th t v y, ta có x2(k+1) = f (x2k+1 , x2k ) = f (x, y) = y, x2(k+1)+1 = f (x2k+2 , x2k+1) = f (y, x) = x.Như v y x2k = y, x2k+1 = x v i k ∈ N0. Theo gi thi t {xn }n h i t đ n sdương , nên ta đư c các dãy co ...