Chương 7: Nguyên hàm tích phân từng phần

Tài liệu trình bày một số bài toán cơ bản nguyên hàm tích phân từng phần giúp các em học sinh có thêm tư liệu phục vụ công tác học tập môn Toán. Mời các em cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chương 7: Nguyên hàm tích phân từng phầnTại sao Nguyên hàm – Tích phân lại khó? CHƯƠNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN 7 TỪNG PHẦNKỹ thuật từng phần là một kỹ thuât khá cơ bản nhưng rất hiệu quả trong các bài toán tínhtích phân, ở trong phần này ta sẽ không nhắc lại các bài toán cơ bản nữa mà chỉ đề cập tớimột số bài toán nâng cao trong phần này. Trước tiên ta sẽ đi nhắc lại và chứng minh côngthức tính nguyên hàm – tích phân từng phần.Giả sử u  x  , v  x  là các hàm liên tục trên miền D khi đó ta có: d  uv   udv  vdu   d  uv    udv   vdu  uv   udv   vdu   udv  uv  vduChú ý. Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và nguyên hàm vdu dễ tính hơn  udv . Ngoài ra ta còn chú ý tới thứ tự đặt Nhất – Log, Nhì – Đa, Tam – ln xLượng, Tứ - Mũ . Nghĩa là nếu có ln hay log a x thì chọn u  ln hay u  log a x  và ln adv  còn lại. Nếu không có ln; log thì chọn u  đa thức và dv  còn lại Nếu kh ng clog đa thức ta chọn u  lượng giác cuối cùng là mũ Ta thường gặp các dạng sau ,với P  x  là đa thứcDạng sin x  sin x  x I   P x   dx I   P  x  e ax  bdx I   P  x  ln  mx  n  dx I    e dx đặt  cos x   cos x  sin x  u P x P x ln  mx  n   cos x    sin x  dv  cos x  dx dv  e ax  bdx P  x  dx e xdx   - Lư n c c a đa thức c c a n tư n ứn i n ấ n nh m TẠP CHÍ VÀ TƯ LIỆU TOÁN HỌC - Dạn mũ nh n ượn i c ạn n n h m t n ph n nh iMỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢNBài toán 1. Tìm các họ nguyên hàm sau đây   x  2  e dx   2x  1 cos x dx 2xa) b)c)   3x  1  ln x dx 2 d)   4x  1  ln  x  1  dx Lời giải1 | Chinh phục olympic toán Nguyễn Minh Tuấn – Nguyễn Kim Anh – Nguyễn Quang Phát du  dx u  x  2  a) Xét   x  2  e dx . Đặt  2x  1 2x dv  e dx  v  e 2x  2 1 1 1 1 Khi đ   x  2  e 2xdx   x  2  e 2x   e 2xdx   x  2  e 2x  e 2x  C 2 2 2 4 1 Vậy   x  2  e 2 xdx   2x  3 e2 x  C . 4 u  2x  1 du  2dx b) Xét   2x  1 cos x dx . Đặt   dv  cos xdx v  sin x Khi đ   2x  1 cos x dx   2x  1 sin x   2 sin x dx   2x  1  sin x  2 cos x  C 1  x  2 e dx   2x  3 e2 x  C 2x Vậy 4 ...