Chương 7: Phép biến đổi Laplace và ứng dụng

Chương 7: Phép biến đổi Laplace và ứng dụng cung cấp cho người học khái niệm hàm biến phức; khái niệm gàm gốc, hàm ảnh; phép biến đổi Laplace, phép biến đổi Laplace ngược; các tích phân của phép biến đổi Laplace; khái niệm tích chập, ảnh của tích chập; một số phương pháp tìm hàm gốc;... Mời các bạn cùng tham khảo.

Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chương 7: Phép biến đổi Laplace và ứng dụng Pheùp bieán ñoåi Laplace.........……………………………………………….......................................................Trang 1 Chöông 7 PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE VAØ ÖÙNG DUÏNG Trong chöông naøy , baïn seõ hoïc ♦ Khaùi nieäm haøm bieán phöùc. ♦ Khaùi nieäm haøm goác, haøm aûnh. ♦ Pheùp bieán ñoåi Laplace, pheùp bieán ñoåi Laplace ngöôïc. ♦ Caùc tính chaát cuûa pheùp bieán ñoåi Laplace. ♦ Khaùi nieäm tích chaäp, aûnh cuûa tích chaäp. ♦ Moät soá phöông phaùp tìm haøm goác. ♦ ÖÙng duïng pheùp bieán ñoåi Laplace ñeå giaûi phöông trình vi phaân, moät soá phöông trình tích phaân, heä phöông trình vi phaân. ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… §1. PHEÙP BIEÁN ÑOÅI LAPLACE 0. Khaùi nieäm haøm bieán phöùc Giaû söû A laø taäp hôïp ñieåm trong maët phaúng phöùc z. Neáu coù moät qui taéc, goïi teân laø f , maø moãi soá phöùc z ∈A , töông öùng vôùi moät hoaëc nhieàu soá phöùc xaùc ñònh w , thì ta noùi treân taäp A ñaõ xaùc ñònh moät haøm bieán phöùc w = f (z ) . ♦ Neáu moãi soá phöùc z ∈A, töông öùng vôùi duy nhaát moät soá phöùc xaùc ñònh w, thì ta noùi w = f (z ) laø haøm ñôn trò. ♦ Neáu moãi soá phöùc z ∈A, töông öùng vôùi hai hay nhieàu soá phöùc xaùc ñònh w, thì ta noùi w = f (z ) laø haøm ña trò. Pheùp bieán ñoåi Laplace.........……………………………………………….......................................................Trang 2 ♦ Neáu w = f (z ) laø haøm bieán phöùc xaùc ñònh treân taäp A thì A goïi laø mieàn xaùc ñònh vaø taäp B = {w / ∃ z ∈ A thoûa f(z) = w} goïi laø mieàn giaù trò cuûa haøm bieán phöùc w = f (z ) . ♦ Sau naøy, khi noùi ñeán moät haøm phöùc w = f (z ) maø khoâng noùi roõ gì theâm thì ta xem ñoù laø haøm ñôn trò. Phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa haøm bieán phöùc Cho haøm bieán phöùc w = f (z ) , töùc laø cho phaàn thöïc u vaø phaàn aûo v cuûa w. Neáu z = x + iy thì u vaø v laø hai haøm thöïc cuûa hai bieán soá ñoäc laäp x vaø y. Toùm laïi, cho haøm phöùc w = f (z ) , töông öùng cho hai haøm thöïc u = u(x, y) , v = v(x, y). z = x + iy w= f(z) ⇔ w = u(x, y) + iv(x, y) (2.1) Ví duï7.0 Tìm phaàn thöïc vaø phaàn aûo cuûa caùc haøm phöùc 1 b) w= z2 + 2i z a) w = z Giaûi 1 1 x − iy x −y a) w = = = 2 = 2 +i 2 z x + iy x + y 2 x +y 2 x + y2 x −y Vaäy u(x,y) = 2 , v(x,y) = . x + y2 x2 + y2 b) w = (x+iy)2 + 2i(x-iy) = x2 –y2 + 2ixy + 2ix + 2y = (x2 –y2+ 2y) + i(2xy + 2x) Vaäy u(x,y) = x2 –y2+ 2y , v(x,y) = 2xy + 2x ¡ Nhaéc laïi ♦ Luõy thöøa baäc n soá phöùc- Coâng thöùc Moivre Neáu z = r( cosϕ ± i sinϕ ) ta ñöôïc coâng thöùc luõy thöøa baäc n soá phöùc z n = [r(cosϕ ± isinϕ )]n = rn( cosnϕ ± i sinnϕ ) , ∀n∈ Z Coâng thöùc Moivre (cosϕ ± isinϕ ) n = cosnϕ ± i sinnϕ , ∀n∈Z ♦ Khai caên baäc n cuûa soá phöùc Cho soá phöùc z = r(cosϕ + isinϕ) ≠ 0. Khi ñoù n z laø soá phöùc w thoûa wn = z. Ñaët w = ρ(cosθ + isinθ) , ta coù ρn(cosnθ + isinnθ) = [ρ(cosθ + isinθ)]n = wn = z = r(cosϕ + isinϕ) Pheùp bieán ñoåi Laplace.........……………………………………………….......................................................Trang 3 n ⎧ρ n = r ⎧ρ = r ⎪ ⇒⎨ ⇒ ⎨ ϕ + 2kπ . Suy ra , vôùi k ∈ Z ⎩nθ = + 2kπ, vôùi k ∈ Z ⎪⎩θ = n ϕ + k 2π ϕ + k 2π n z = n r (cos + i sin ); k = 0,1,2,..., n-1; n ∈ N+ n n Nhaän xeùt Caên baäc n cuûa moät soá phöùc z = r(cosϕ + isinϕ) ≠ 0 coù taát caû n giaù trò, chuùng coù bieåu dieãn hình hoïc laø n ñænh cuûa moät ña giaùc ñeàu n caïnh noäi tieáp ñöôøng troøn taâm 0 baùn kính laø n r . ♦ Coâng thöùc Euler- Daïng muõ cuûa soá phöùc Coâng thöùc Euler: cosϕ + isinϕ = eiϕ Daïng muõ soá phöùc: z = r(cosϕ + isinϕ) = reiϕ 0.1 Haøm ña thöùc w = anzn + an-1zn - 1 + .....+ a1z + a0 = P(z) vôùi an ≠ 0; a0, a1, ....., an laø caùc haèng soá phöùc, n laø soá nguyeân döông ñöôïc goïi laø baäc ña thöùc P(z). P( z) 0.2 Haøm phaân ...