Chương 8: Chuỗi Fourier và tích phân Fourier

Tham khảo tài liệu chương 8: chuỗi fourier và tích phân fourier, khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chương 8: Chuỗi Fourier và tích phân Fourier Chương 8 Chuỗi Fourier và tích phân Fourier 8.1. Chuỗi Fourier .................................................................................................................275 8.1.1. Phương pháp trung bình cộng trong chuỗi Fourier ....................................................... 276 8.1.2. Tính đầy đủ của các hệ đa thức ..................................................................................... 279 8.1.3. Tính chất của các hệ số Fourier..................................................................................... 282 8.1.4. Đạo hàm, tích phân và tính hội tụ của chuỗi Fourier .................................................... 284 8.1.5. Dạng phức của chuỗi Fourier ........................................................................................ 288 8.1.6. Thí dụ ............................................................................................................................ 289 8.2. Tích phân Fourier ......................................................................................................... 290 8.2.1. Biểu diễn hàm số bằng tích phân Fourier...................................................................... 290 8.2.2. Dạng khác của công thức Fourier ................................................................................. 293 8.3. Biến đổi Fourier............................................................................................................ 295 8.3.1. Định nghĩa..................................................................................................................... 295 8.3.2. Các tính chất của biến đổi Fourier ................................................................................ 296 8.3.3. Biến đổi Fourier của đạo hàm và đạo hàm của biến đổi Fourier................................... 297 8.3.4. Tích chập và biến đổi Fourier ....................................................................................... 299 8.4. Một số ví dụ về ứng dụng ........................................................................................ 301 8.4.1. Bộ lọc điện .................................................................................................................... 301 8.4.2. Sự truyền nhiệt trong thanh kim loại............................................................................. 3028.1. Chuỗi Fourier Trong giáo trình giải tích các hàm số một biến, chúng ta đã được làm quen vớikhái niệm chuỗi Fourier của hàm khả tích và xem xét sơ bộ tính hội tụ của nó. Đâylà một lĩnh vực quan trọng của toán học và có nhiều ứng dụng thiết thực trong: Vậtlý, Cơ học, Kỹ thuật, Công nghệ,... cho nên đã được quan tâm nghiên cứu rấtnhiều. Các kết quả về lĩnh vực này vô cùng phong phú, đa dạng, và những gì chúngta đã biết trong giáo trình giải tích nói trên mới chỉ là những kiến thức ban đầu.276 Giải tích các hàm nhiều biếnToàn bộ chương này chúng ta dành để tiếp tục công việc tìm hiểu lĩnh vực thú vịđó.8.1.1. Phương pháp trung bình cộng trong chuỗi Fourier Trước hết ta nhắc lại rằng chuỗi Fourier của một hàm f khả tích tuần hoàntrên đoạn [−π, π] là chuỗi lượng giác ∞ a0 + ∑ [an cos nx + bn sin nx] , 2 n=1trong đó các hệ số được tính bởi các công thức sau đây π an = 1 ∫ f ( x) cos nxdx, n = 0,1, 2,3,... π −π π bn = 1 ∫ f ( x)sin nxdx, n = 1, 2,3,... . π −πTổng riêng của chuỗi này là n a0S n ( x) = + ∑ [ak cos kx + bk sin kx] = 2 k =1 π n = 1 ∫ [1 + 2∑ (cos kt cos kx + sin kt.sin kx)] f (t )dt = 2π k =1 −π π n = 1 ∫ [1 + 2∑ cos k (t − x)] f (t )dt . 2π k =1 −π n sin[(2n + 1)u / 2]Để ý rằng 1 + 2∑ cos ku = khi u ≠ 2mπ , m ∈ , ta suy ra k =1 sin(u / 2) π ...