CHƯƠNG III : DÃY SỐ

§1.PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP1 2 3 4 k k+1 n n+1 Để chứng minh mệnh đề T(n) (1) phụ thuộc n∈N*, ta làm như sau: (ví du: 1+2+3+…+n=n(n+1)/2 ̣ Bước 1: Kiểm tra T(1) đúng khi thay n = 1 Bước 2: giả sử mệnh đề đúng với n=k ta chứng minh mệnh đề đúng với n= k+1.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
CHƯƠNG III : DÃY SỐ CHƯƠNG III : DÃY SỐ §1.PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP 1 2 3 4 k k+1 n n+1Để cm mệnh đề T(n) (1) phụ thuộc n∈ N*, ta làmnhư sau: (ví du: 1+2+3+…+n=n(n+1)/2 ̣Bước 1: Kiểm tra T(1) đúng khi thay n = 1Bước 2: giả sử mệnh đề đúng với n=k, ta cm MĐĐúng với n = k+1Bước 3: KL mệnh đề đúng với ∀ n∈ N* Bài 1: cm,∀ n∈ N* , ta có: n(n+1) 1+2+3+…+n= (1) 2 +)n=1=>VT=1 ́ VP=1 =>VT=VP=>(1) đung k(k+1)Giả sử (1) đung với n=k∈ N*,tức la:1+2+3+…+k= ́ ̀ (2) 2 ̣ ̀ ́ Công k+1 vao 2 vê: k(k+1) 1+2+3+…+k+k+1= +k+1 2 k(k+1)+2(k+1)=>1+2+3+…+k+k+1= 2 (k+1)(k+2)=>1+2+3+…+k+k+1= 2 (1) Đung với n=k+1=>(1) đung với moi n ́ ́ ̣Bài 1: cm,∀ n∈ N* , ta có: n(3n+1)a)2+5+8+…+3n-1= (1) 2Với n = 1 VT=2 =>VT=VP=>(1) đúng VP=1.(3+1)/2=2Giả sử (1) đúng với n = k;tức là: k(3k+1)2+5+8+…+3k-1= 2Công 2 vế với 3(k+1)-1=3k+2 ta co: ̣ ́ k(3k+1)2+5+8+…+3k-1+(3k+2)= +(3k+2) 2 3k 2 +7k+4 = 2 (k+1)(3k+4) 2+5+8+…+3k-1+3(k+1)-1= 2=>(1) đung với n=k+1 ́ Vây,(1) đung với moi n ̣ ́ ̣ 1 2n -1 111b) + + +...+ n = n (1) 248 2 2 VT=1/2 =>VT=VP=>(1) đúngVới n = 1 VP=1/2Giả sử (1) đúng với n = k;tức là: 1 2k -1111 + + +...+ k = k (2)248 2 k+1 2Công 2 vế với 1/2 ; ta co: ̣ ́ k 111 1 1 2 -1 1 + + +...+ k + k+1 = k + k+1 248 22 2 2 2k+1 -1 111 1 1=> + + +...+ k + k+1 = k+1 =>(1) đung với n=k+1 ́ 248 22 2Vây,(1) đung với ∀ n∈ N* ̣ ́ n(n+1)(2n+1) 2 2 2c)1 +2 +...+n = (1) 6 Với n = 1 VT=1 VP=1 =>VT=VP=>(1) đúngGiả sử (1) đúng với n = k;tức là: k(k+1)(2k+1) 2 2 21 +2 +...+k = (2) 6Công 2 vế với (k+1)2,ta có: ̣ k(k+1)(2k+1) 2 2 2 2 +(k+1)21 +2 +...+k +(k+1) = 6 k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2 = 6 (k+1)(k+2)(2k+3) 2 2 2 2 1 +2 +...+k +(k+1) = 6 Vây: (1) đúng với ∀ n∈ N* ̣=>(1) đúng khi n = k+1 ́2)cm: a)n3+3n2+5n chia hêt cho 3(1)Với n = 1=>13+3.1+5=9 chia hêt cho 3=>đung ́ ́Giả sử (1) đung với n=k∈ N*;tức la: ́ ̀ ́ k3+3k2+5k chia hêt cho 3(1)Với n=k+1 ta co: A=(k+1)3+3(k+1)2+5(k+1) ́=(k3+3k2+5k)+3k2+9k+9=(k3+3k2+5k)+3(k2+3k+3)=>A chia hêt cho 3=>(1) đung với n =k+1 ́ ́Vây: (1) đúng với ∀ n∈ N* ̣ C2:n3+3n2+5n=(n3+3n2+2n)+3n=n(n+1)(n+2)+3n ́Do n(n+1)(n+2)chia hêt cho 3=>… ́b)4n+15n-1 chia hêt cho 9 ́b)4n+15n-1 chia hêt cho 9(1)Với n = 1=>41+15-1=18 chia hêt cho 9=>đung ́ ́Giả sử (1) đung với n=k∈ N*;tức la: ́ ̀ ́ 4k+15k-1 chia hêt cho 9(2)Với n=k+1 ta co: A=4k+1+15(k+1)-1=4.4k+15k+15-1 ́=4(4k+15k-1)-45k+18=4(4k+15k-1)-9(5k-2)=>A chia hêt cho 9=>(1) đung với n =k+1 ́ ́Vây: (1) đúng với ∀ n∈ N* ̣ ́ c)n3+11n chia hêt cho 6 C2:n3+11n=(n3+3n2+2n)-3n2+9n=n(n+1)(n+2)-3n(n-3) Do n(n+1)(n+2)chia hêt cho 6;và n(n-3) chia hêt cho 2 ́ ́ (Vì n le=>n-3 ...