CHƯƠNG III. MỘT SỐ SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN CỰC TRỊ

Một trong những phương pháp giải toán cực trị hiệu quả là dùng các bất đẳng thức quen thuộc. Nhưng cũng chính phương pháp này lại dễ gây ra những sai lầm nếu không nắm vững bản chất của nó.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
CHƯƠNG III. MỘT SỐ SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN CỰC TRỊ CHƯƠNG III. MỘT SỐ SAI LẦM KHI GIẢI TOÁN CỰC TRỊMột trong những phương pháp giải toán cực trị hiệu quả là dùng các bấtđẳng thức quen thuộc. Nhưng cũng chính phương pháp này lại dễ gây ranhững sai lầm nếu không nắm vững bản chất của nó.Bài toán 1. Biết rằng x + y + z = 1 và x, y, z dươngTìm GTLN củaS = xyz  x  y   y  z   z  x Có bạn đã giải như sau:z   x  y  2 z  x  yx   y  z  2 x y  z (1)y   z  x  2 y  z  xNhân từng vế của (1) ta có:1  8 xyz  x  y   y  z   z  x  (2) 1 1Từ đó S   Sma x  64 64Nhận xét: Cách giải trên cho đáp số sai vì điều kiện xảy ra dấu bằng của cácbất đẳng thức đã dùng không đạt được đồng thời. Cụ thể: 1 đạt được khi và chỉ khiS 64z  x  yy  x  z x  y  z  0 x  z  y  x  y  z  1 x  y  z  1  x, y , z  0  x, y, z  0 1Như vậy không tồn tại (x,y,z) để tại đó S  . Do đó không thể kết luận 64 1S ma x  64Lời giải đúng:Với x,y,z  0 , ta có: 3 x y z S = xyz  x  y   y  z   z  x      x  y y  z  z  x  3   1  x  y y  z  z  x 27 3 1   x  y y  z  z  x  8  2  27  3  27 8Vậy S  27 2 x  y  z  1Với mọi x,y,z thoả mãn   x, y, z  0 x  y  z x  y  y  z  z  x 1Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  xyz  x  y  z  1 3  x, y , z  0  8 1Kết luận: S ma x  2 đạt tại x = y = z = 27 3Nhắc lại định nghĩa maxf(x,y,…) và minf(x,y,…) 1.Định nghĩa1: Cho biểu thức f(x,y,…) xác định trên miền D. Ta nói M là giá trị lớn nhất của f(x,y,…) hay maxf = M trên D nếu hai điều kiện sau được thoả mãn: - Với mọi (x, y,…) thuộc D thì f(x,y,…)  M với M là hằng số - Tồn tại (x0, y0 ,…) thuộc D sao cho f(x0, y0 ,…) = M 2. Định nghĩa 2: Cho biểu thức f(x,y,…) xác định trên miền D. Ta nói m là giá trị nhỏ nhất của f(x,y,…) hay minf = m trên D nếu hai điều kiện sau được thoả mãn: - Với mọi (x, y,…) thuộc D thì f(x,y,…)  m với m là hằng số - Tồn tại (x0, y0 ,…) thuộc D sao cho f(x0, y0 ,…) = mMột số chú ý: 1) Nếu không chỉ ra được bộ giá trị (x0, y0 ,…) để f(x0, y0 ,…) = M thì không khẳng định được maxf = M, mặc dù có f(x,y,…)  M với mọi (x, y,…) thuộc D. Khi đó ta phải tìm một cách giải khác 2) Bội giá trị (x0, y0 ,…) để f(x0, y0 ,…) = M thường được tìm bằng cách áp dụng điều kiện xảy ra dấu bằng trong các bất đẳng thức đã dùng. Chẳng hạn: a) Các dạng của bất đẳng thức Cô-si: +) a + b  2 ab ( a  0, b  0) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b a b +) + 2 (ab  0) b a Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = bb) Bất đẳng thức Bunhiacopsky(ax + by)2  (a2 + b2) (x2 + y2) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay = bxc) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối a + b  ab Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab  03) Trong các bài toán dạng cực trị có điều kiện nếu chỉ chú ý đến điều kiện xảy ra dấu bằng của các bất đẳng thức đã dùng mà không kết hợp điều kiện ràng buộc của bài toán thì dễ mắc sai lầm4) Trong các định nghĩa trên thì M và m phải là các hằng sốThật vậy, xét bài toán sau đây:Bài toán 2. Cho x,y,z  0. Tìm GTLN củaf(x,y,z) = xyz  x  y   y  z   z  x Xét lời giải:Với mọi x,y,z  0 ta có: 6  x  y  z   x  y y  z z  x f  x, y , z     6   x  y  z  x  y  y  x  z  xDấu bằng xảy ra khi và chỉ khi   x, y , z  0Tức là x = y = z = 0. Khi đó vế phải của bất đẳng thức bằng 0. Suy ra f  x, y , z   0Vậy f  x, y , z   0 khi x = ...