CHƯƠNG IV : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Các phương pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức: - Phương pháp biến đổi tương đương: Dng cc tính chất cơ bản của bất đẳng thức để biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh về một bất đẳng thức đúng. -
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
CHƯƠNG IV : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHƯƠNG IV : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNHI - BẤT ĐẲNG THỨCCác phương pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức: - Phương pháp biến đổi tương đương:Dng cc tính chất cơ bản của bất đẳng thức để biến đổi tương đương bất đẳng thức cầnchứng minh về một bất đẳng thức đúng. - Phương pháp dùng bất đẳng thức Cô-si: ab a) Đối với 2 số không âm a và b: hay a  b  2 ab .  ab 2 a. Đẳng thức xảy ra  a = b. abc 3 b) Đối với 3 số không âm a, b và c: hay  abc 3 a  b  c  33 abc . a. Đẳng thức xảy ra  a = b = c. c) Tổng quát: Đối với n số không âm a1 ; a 2 ; a 3 ;...; a n : a1  a 2  a3  ...  a n n a.  a1.a 2 .a 3 .....a n n d) Ch ý: a. a 2  b 2  2ab với mọi số thực a, b. b. Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh về dạng có thể áp dụng được bất đẳng thức Cô-si với các kỹ thuật tách – gộp, ghép cặp 2, ghép cặp 3, ví dụ: a  2b  a  b  b; e) aa ab  b 22 aa 11 f) a  1   1  a   . 22 22: Chứng minh các bất đẳng thức sau:2) a  b  a  b3) a 2  ab  b 2  0 . abc4)    3 , với a, b, c > 0. bca5) 3a 3  6b 3  9ab 2 a , b  06) Tìm GTNN của A  x  12  x  327) Tìm GTLN của A  5  3 x  x x  8 , x  0. 38) Tìm GTNN của A  x 2  , x  0. x2 19) Tìm GTNN của A  x  , x2 x210) .11) Chứng minh bất đẳng thức: ac  bd 2  a 2  b 2 .c 2  d 2  (BĐT Bunhiacopxki)a , b, c, d  R ,HD: Dùng phương pháp biến đổi tương đương đưa bất đẳng thức vềad  bc 2  0 . a b12)  a  b , a  0; b  0  b aHD: Dùng phương pháp biến đổi tương đương đưa bất đẳng thức về:    2 a.  0, a b a ba  b  2a 2  b 2  , a  0; b  0HD: Do 2 vế của bất đẳng thức không âm nên ta bình phương 2 vế. x 2  4 y 2  3z 2  14  2 x  12 y  6 z , với mọi x, y, z.13)HD: biến đổi tương đương. Cho 4 x  3 y  15. Chứng minh: x 2  y 2  914)HD: Rt x hoặc y từ 4 x  3 y  15, thế vo x 2  y 2 .15) Chứng minh: a  b  c  ab  bc  ca với a , b, c  0HD: Dùng bất đẳng thức Cô-si đối với 3 cặp (a và b); (b và c); (c và a). Chứng minh: a  1b  1a  c b  c   16abc với a, b, c dương.16) a2  617) Với a bất kì, chứng minh:  4. a2  2 a2  6 a2  2  4 4  a2  2 HD: Tch  2 2 2 a 2 a 2 a 2 Cho a, b, c  0 , chứng minh: a  b b  c c  a   8abc .18)19) Cho a, b  0 , chứng minh: a  b  1  ab  a  b . 1 1 Cho a, b  0 , chứng minh: a  b 20)    2.   2a 2b  1 Với x  R , tìm GTNN của A  3x 2 21) . x2 Tìm GTNN: A  x  12  x  32 .22) HD: Khai triển x  12  x  32 , nhóm hằng đẳ ...