CHƯƠNGII: ỨNGDỤNGCỦALƯỢNGGIÁCTRONGHÌNHHỌC

Lượnggiáclàmộtcôngcụmạnhtrongtoánhọc,nóđượcứngdụngtronggiảicácdạngtoán khác,điểnhìnhnhưhìnhhọc,khảosáthàmsố,chứngminhbấtđẳngthức…..Cácbàitậpởchương nàychủyếunêuranhữngvídụvềsửdụngcôngcụlượnggiácđểchứngminhnhữngbàitậpkhóvà giớithiệucho cácbạnmộtsốbàitoánđặcbiệt....
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
CHƯƠNGII: ỨNGDỤNGCỦALƯỢNGGIÁCTRONGHÌNHHỌCCHƯƠNGII: ỨNGDỤNGCỦALƯỢNGGIÁCTRONGHÌNHHỌC Lượnggiáclà một côngcụ mạnh trong toán học,nó được ứng dụng trong giải các dạng toánkhác, điển hình như hình học, khảo sát hàm số, chứng minh bất đẳng thức…..Các bài tập ở chươngnày chủyếu nêu ra nhữngví dụvề sử dụng công cụlượnggiác đểchứng minh những bài tậpkhó vàgiớithiệucho cácbạnmộtsốbàitoánđặcbiệt.Bài1:(ĐịnhlýStewart)Cho ABC D là 1 điểm trên cạnh BC. Đặt AD = d, BD = m, DC = n. Khi đó ta có công thức sau:(gọilà hệ thứcStewart): Giải:KẻđườngcaoAH xét2tam giácABD vàACDvà theođịnhlýhàmsốcosin,ta có:Nhântừngvế(1) và(2)theothứtựvớin vàmrồicộnglại,ta có:Do nêntừ(3)suyra: Định lýStewartchứngminhxong.*Mở rộng:1.Stewart(17171785)lànhàtoán họcvàthiênvăn họcngườiScotland.2.Nếutronghệ thứcStewartxétAD làđườngtrungtuyếnthì từhệ thứcStewartcó:(4)chínhlà hệthức xácđịnhtrungtuyếnquenbiếttrongtam giác3. Nếu trong hệ thức Stewart xét AD là phân giác. Khi đó theo tính chất đường phân giác trong tacó:TừhệthứcStewartcó: 11 Chúý rằng:Từ(5)và(6)suyra:(7)chínhlà hệthức xácđịnhđườngphângiác .Vậy, hệ thức Stewart là tổng quát hóa của hệ thức xác định đường trung tuyến và đường phân giácđãquenbiết.Bài 2:Cho ABC giả sử D và E là 2 điểm trên cạnh BC sao cho .Đường tròn nội tiếpcác ABD và ACEtiếpxúcvớicạnhBCtươngứng tạiMvà N.Chứngminhrằng: Giải:Tacó:Vậyđẳngthứccầnchứngminhtươngđươngvớiđẳngthứcsau: (*)ĐặtÁpdụngđịnh lýhàmsốsintrong các ABDvà ACE,ta có:Trong ABEtheođịnh lýhàmsố sin,ta có:Tươngtự: 12 Thay(3)vào(1) có:Thay(4)vào(2) có:Do nêntừ(5)và (6)suyra:Trong ABDta có:Tươngtự:Từđósuyra: (8)Từ(1)và(2)suyra:Ápdụngđịnh lýhàmsốcosintrong cáctamgicasABDvà ACEtacó:Tacó: và theo(8)có (11)Tươngtựtacó: 13 (12)Thay(11),(12)vào(1) có: ( ) (13)Từ(9)và(13)có (14)Từ(3)(4) và(14)suyraHaysaukhithayTacó : (15)Thay(7)vào(15)có:Hay (*)Vậy(*)đúng vàlàđiềucầnchứngminh.Bài3:(Địnhlíhàmsốcosthứnhấtvớitứgiác) ·ChotứgiáclồiABCD,trongđó AB = a, BC = b, CD = c, DA = d , · = b ,BCD=g AB=a,BC=b,CD ABC=c,DA=d.Chứngminhrằng:d 2 = a 2 + b 2 + c 2 - 2 ab cos b - 2bc cos g - 2 ac cos( b +g ) Giải:Gọi K, L tương ứng là trung điểm AC và BD và M là trung điểm BC (Chỉ xét khi K ¹ L, tức là khiABCD không phải là hình bình hành, vì nếu ABCD là hình bình hành thì b + g = 1800; a = c,b =d vàkếtluậntrênlàđiềuhiểnnhiên)Có2khảnăngxảyra:1)NếuABkhôngsongsongvớiCD · AEDGiảsử AB Ç CD = E => KML =·VớitrườnghợpABcắtCDvềphíatrên,tacó: · = 1800 - é(1800 - b ) + (1800 - g )ù= b + g - 180 0 AED ë ûKhiABcắtCBvềphíadưới,tacó: · = 1800 - ( b +g ) AED Trongcảhaitrườnghợpđềucó: cos AED = - cos( b + g ) 14 Trong D MKL,theođịnhlíhàmsốsin,tacó:KL2 = MK 2 + Ml 2 - 2 ML.MK cosKML a 2 c 2 a c 2 cos( b + g )KL = + +2 4 4 2 2 a 2 c 2 ac=> KL2 = + + cos ( b +g )(1) ...