CHUYÊN ĐỀ 2: Bất đẳng thức. Các bài toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất.

Tham khảo tài liệu chuyên đề 2: bất đẳng thức. các bài toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất., tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
CHUYÊN ĐỀ 2: Bất đẳng thức. Các bài toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất.CHUYÊN ĐỀ 2: Bất đẳng thức. Các bài toán tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất.Bài 1:Cho a,b,c là độ dài của ba cạnh tam giác.CMR: ab + bc + ca  a2 +b2 +c2 < 2.(ab + bc + ca).Giải:Ta có: 1a2 +b2 +c2 - ab + bc + ca  .(a  b) 2  (b  c) 2  (c  a) 2   0. 2Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.Vậy: ab + bc + ca  a2 +b2 +c2.Lại có:a < b + c  a2 < a.(b + c) (1)Tương tự: b2 < b.(a + c) (2) ,c2 < c.(b + a) (3).Cộng (1),(2),(3) theo vế ta được:a2 +b2 +c2 < a.(b + c) + b.(a + c) + c.(b + a) = 2.(ab + bc + ca).Bài 2:Giả sử x > z ; y > z ; z > 0.CMR: z.( x  z )  z.( y  z )  xy (1).Giải: x  z  mĐặt:  (m,n,z > 0). y  z  nKhi đó (1) trở thành: zm  zn  ( z  m).( z  n)  m m  n  1  .n  z  (2). z Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: 2  m m  m 2   1  z  .(n  z )   n  z .z   n m  1   .(n  z )  n  m .   z    Vậy (2) đúng, tức là (1) cũng đúng (đpcm). 1Bài 3:Cho xy > 0 và x + y = 1.CMR: 8.x 4  y 4    5. xyGiải:  xy  0Từ giả thiết   x , y  0. x  y  1  0Ta có: 1 11  x  y  2. xy   xy   4(1). 4 xyLại có: 2 2 2  8. x 4  y 4  4.(12  12 ).( x 4  y 4 )  4.( x 2  y 2 ) 2  (12  12 ).( x 2  y 2 )    x  y    1.   Suy ra: 8.(x4 + y4)  1 (2).Từ (1) và (2) suy ra: 1  8. x 4  y 4   1  4  5. xyTa có đpcm.Bài 4:Cho ba số phân biệt a,b,c.CMR:Có ít nhất một trong ba số sau đây là sốdương:x = (a + b + c)2 - 9ab ; y = (a + b + c)2 - 9cb ; z = (a + b + c)2 - 9ac.Giải:Ta có:x + y + z = 3. (a + b + c)2 - 9.(ab + bc + ca) = 3.(a2 + b2 +c2- ab - bc - ca) = 3   . (a  b) 2  (b  c) 2  (c  a) 2  0. (Do a  b  c  a).= 2Vậy trong ba số x,y,z luôn có ít nhất một số dương. a  b  1 1 thì a 4  b 4  .Bài 5: Nếu  ab  0 8Giải: Hoàn toàn tương tự bài 3.Bài 6:CMR: x10  y 10 .x 2  y 2   x 8  y 8 .x 4  y 4  .Giải:Ta có: x10  y 10 .x 2  y 2   x 8  y 8 .x 4  y 4          x 12  y 12  x 2 y 2 . x 8  y 8  x 12  y 12  x 4 y 4 . x 4  y 4  x 2 y 2 . x 8  y 8  x 4 y 4 . x 4  y 4   x 2 y 2 . x8  y 8  x 6 y 2  x 2 y 6  0 2 x y . x      2 2 2  y 2 . x6  y 6  0  x 2 y 2 . x 2  y 2 . x 4  x 2 y 2  y 4  0Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng.Vậy ta có đpcm.Bài 7:CMR: Nếu a,b,c là các số đôi một khác nhau và a + b + c < 0 thì :P = a3 + b3 + c3 - 3abc < 0.Giải:Có:P = a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c).(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) < 0. 1 1 1 1 với n  , n  1.Bài 8:CMR: A    ...   2 (2n  1) 9 25 4Giải:Dễ dàng biến đổi tương đương chứng minh được: 1  1 1 1  .  2  2n.(2n  1) (2n  1).(2n  2)  2(2n  1) ...