CHUYÊN ĐỀ 3: Đa thức và những vấn đề liên quan.

Tham khảo tài liệu chuyên đề 3:đa thức và những vấn đề liên quan., tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
CHUYÊN ĐỀ 3:Đa thức và những vấn đề liên quan.CHUYÊN ĐỀ 3: Đa thức và những vấn đề liên quan. x2  5 a b . Với những giá trị nào của a,b thìBài 1:Cho P  &Q  2 3 x  2 x  2x  1 x  3x  2P=Q với mọi giá trị của x trong tập xác định của chúng.Giải:Điều kiện: x  2,1. x2  5 ax 2  (2a  b) x  a  2bTa có: P=Q (x  2,1)   x  2,1 x 3  3x  2 x 3  3x  2 a  1 a  1  2 a  b  0   b  2 a  2b  5 Bài 2:Cho số nguyên n, A= n5 - n.a-Phân tích A thành nhân tử.b-Tìm n để A=0.c-CMR: A chia hết cho 30.Giải:a) A= n5 - n = n.(n4 -1) = n.(n-1).(n+1).(n2 + 1)b) A=0  n = 0,1,-1.c) Theo Định Lý Fecma: n 5  n(mod 5)  n 5  n   A (1). 5 5Lại có: n(n  1)   A (2) và: (n  1).n.(n  1)   A (3). 2 2 3 3Vì 2,3,5 đôi một nguyên tố cùng nhau nên từ (1),(2)&(3) suy ra A2.3.5) (đpcm). (Bài 3: CMR: Nếu x,y là những số nguyên thỏa mãn điều kiện x2 + y2 chia hết cho3 thì cả x và y đều chia hết cho 3.Giải:Nhận xét:Số chính phương chia cho 3 có số dư là 0 hoặc 1.Vì vậy từ giả thiết x2 + y2 chia hết cho 3  x, y . 3Bài 4:Tìm giá trị của p,q để đa thức (x4 + 1) chia hết cho đa thức x2 + px + q.Giải:Giả sử (x4 + 1) = (x2 + px + q).( x2 + mx + n)Khai triển và đồng nhất hệ số ta được hệ:  m   pm  p  0  n  pm  q  0  qn  1qn  1  1 p2  q   q  q  0Vậy có thể thấy các giá trị của p,q cần tìm là:  1  p  q  q Bài 5:Cho đa thức: A( x)  x 4  14 x 3  71x 2  154 x  120 x  Z .a)Phân tích A(x) thành nhân tử.b)Chứng minh đa thức A(x) chia hết 24.Giải:a).Ta có: A( x)  x 4  14 x 3  71x 2  154 x  120  ( x  2).( x3  12 x 2  47 x  60)  ( x  2).( x  3).( x 2  9 x  20)b).Ta có:A(x)= ( x 1).( x 1).( x   )  72 2 144 x  120  14  x      x     24 B( x)-Nếu x chia hết cho 4,x-14 chia hết cho 2  B(x) chia hết cho 8.-Nếu x chia cho 4 dư 1 thì x-1 chia hết cho 4,x+1 chia hết cho 2  B(x) chia hếtcho 8.-Nếu x chia cho 4 dư 2 thì x-14 chia hết cho 4,x chia hết cho 2  B(x) chia hết cho8.-Nếu x chia cho 4 dư 3 thì x + 1 chia hết cho 4,x-1 chia hết cho 2  B(x) chia hếtcho 8.Vậy trong mọi trường hợp ta đều có B(x) chia hết cho 8 (1).Mà tích của ba số nguyên liên tiếp thì chi hết cho 3 nên (x-1).x.(x+1) chia hết cho3 B(x) chia hết cho 3 (2).Mà (3,8)=1 nên từ (1) và (2) suy ra B(x) chia hết cho 24.Vậy ta có đpcm.Bài 6:Tìm tất cả các số nguyên x để: x2 + 7 chia hết cho x-2.Giải:Ta có: x2 + 7 = (x-2).(x + 2) +11 chia hết cho x-2 khi và chỉ khi 11 chia hết cho x-2. x-2=-1,-11,1,11.Từ đó ta dễ dàng tìm ra các giá trị x thỏa mãn bài ra.Bài 7: Một đa thức chia cho x-2 thì dư 5, chia cho x-3 thì dư 7.Tính phần dư củaphép chia đa thức đó cho (x-2).(x-3).Giải:Gọi đa thức đã cho là F(x).Theo bài ra ta giả sử đa thức dư cần tìm là ax+b.Ta có:F(x) = (x-2).(x-3).A(x) + ax + b. (trong đó A(x) là đa thức thương trong phép chia)Theo giả thiết và theo định lý Bơdu ta có:F(2)=2a +b=5 và F(3)=3a+b=7.Giải hệ hai phương trình trên ta tìm được a = 2, b = 1.Vậy đa thức dư là 2x+1.Bài 8: Cho biết tổng các số nguyên a1, a2, a3..., an chia hết cho 3.Chứng minh rằng:A(x) = a13  a 2  ...  a n cũng chia hết cho 3. 3 3Giải:Theo định lý fecma ta có: n 3  n(mod 3)n  Z .Áp dụng ta có: a13  a1 (mod 3) , a 2  a 2 (mod 3) ,..., a n  a n (mod 3) . 3 3Suy ra: a13  a 2  ...  a n  a1  a 2  ...  a n (mod 3)  0(mod 3) 3 3Ta có đpcm.Bài 9:Chứng minh rằng (7.5 2 n +12.6 n ) luôn chia hết cho 19, với mọi số n tự nhiên.Giải:Ta có:A = 7.52n + 12.6n = 7.25n + 12.6n.Ta có: 25  6(mod19)  25 n  6 n (mod 19) .Suy ra:A  7.6 n  12.6 n  1 ...