Chuyên đề 3: TỨ GIÁC – HÌNH THANG – HÌNH THANG CÂN

Tứ giác ABCD là hình gồm bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng. A, B, C, D là các đỉnh ; AB, BC, CD, DA là các cạnh. Ta chỉ xét tứ giác đơn trong đó các cạnh chỉ có thể cắt nhau tại các đỉnh. Trong tứ giác đơn ABCD, ta phân biệt : hai đỉnh kề nhau (cùng nằm trên một cạnh ) với hai đỉnh đối nhau(không kề nhau(xuất phat từ một đỉnh) với hai cạnh đối (không kề nhau)....
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuyên đề 3: TỨ GIÁC – HÌNH THANG – HÌNH THANG CÂNChuyên đề 3: TỨ GIÁC – HÌNH THANG – HÌNH THANG CÂN *) Khái niệ m chung về tứ giác: +) Định nghĩa : a) Tứ giác ABCD là hình gồ m bốn đoạn thẳng AB, BC, CD, DA trong đó bất kì hai đoạn thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng. A, B, C, D là các đỉnh ; AB, BC, CD, DA là các cạnh. Ta chỉ xét tứ giác đơn trong đó các cạnh chỉ có thể cắt nhau tại cácđỉnh.Trong tứ giác đơn ABCD, ta phân biệt : hai đỉnh kề nhau (cùng nằm trênmột cạnh ) với hai đỉnh đối nhau(không kề nhau(xuất phat từ một đỉnh) vớihai cạnh đối (không kề nhau). Đường chéo của tứ giác là đoạn thẳng nối hai đỉnh đối nhau. Trong tập hợp , các điểm của mặt phẳng chứa một tứ giác đơn, ta phânbiệt điể m thuộc tứ giác, điẻ m trong tứ giác, điểm ngoài tứ giác.b) ABCD là tứ giác lồi  ABCD luôn thuộc nửa mặt phẳng với bờ là đường Athẳng chứa bất kỳ cạnh nào của nó. B Tứ giác (đơn) không lồi là tứ giác lõm. D CTrong hình, ABCD là tứ giác lồi 1. Định lí: Tổng các gọc trong tứ giác bằng 3600 .*) Tìm hiểu sâu về tứ giác giác lồi: Định lí : Trong một tứ giác lồi , hai đường chéo cắt nhau. Đảo lại, nếu một tứ giác có hai đường chéo cắt nhau thì đó là một tứgiác lồi. ABCD lồi  ABCD có hai đường chéo cắt nhau.Để chứng minh định lí, cần nhớ lại mấy định lí sau đây: Tia Oz nằm trong gọc xOy  tia Oz cắt đoạn thẳng MN, với (I) M  Oz, N Oy Néu tia Oz nằ m trong xOy thì Oz và Oy nằm trong nửa mặt (II) phẳng bờ chứa Oy; Oz và O x nằm trong nửa mặt phẳng bờ chứa Oy. (III) Cho tam giác ABC a) Các trung tuyến xuất phát từ các điểm A và C cắt nhau tại điểm M. Tứ giác ABCM là lồi hay không lồi? Vì sao? b) M là một điểm tuỳ ý thuộc miền trong của tam giác ABC( không thẳng hàng với hai đỉnh nào của tam giác). Với vị trí nào của điểm M thì ABCM là tứ giác lồi? c) M và N là hai điểm tuỳ ý thuộc miền trong của tam giác ABC( và không thẳng hàng với đỉnh nào của tam giác). Chứng minh rằng trong năm điể m A, B, M, N, C bao giờ cũng chọn ra được bốn điểm là đỉnh của một tứ giác lồi. B Giải a) ABCM không lồi (lõm), vì B và C nằm ở hai Mnửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa AM (h .2a) A C b) Kết quả ở câu a/ cũng đúng khi Mlà điểm bất kì thuộc miền trong của tam giác ABC. Nếu M thuộc miền ngoài của ABC thì có hai trường hợp : - M ở trong góc đối đỉnh của một góc của tam giác. trong h .2b, M ởtrong góc đối đỉnh của góc B . Dễ thấy rằng lúc đó đỉng B lại là điểm thuộcmiền trong của tam giác MAC, do đó AMCB không lồi(lõm). - M ở trong một góc của tam giác. trong hình 2b, M’ nằm trong góc A.Do đó AM’ là tia trong của góc A, mà A và M’ nằm ở hai phía của cạnh BC,cho nên đoạn Am’ cắt đoạn thẳng BC và ABM’C là tứ giác lồi.Tóm lại, trong h .2b, các miền được gạch chéo là tập hợp các điểm M màMABC là tứ giác lõm. Các miền khác (để trắng ) là tập hợp các điểm M mà M, A, B, C là các j Mđỉnh của tứ giác lồi. B M A Cc) Đường thẳng đi qua hai điể m M và N bao giờ cũng không cắt một cạnhcủa tam giác ABC. Trong h .2c, đường thẳng MN không cắt AC. Tứ Bgiác MNCA là tứ giác lồi(điể m N thuộc miền ngoài M Ncủa tam giác MAC và nằm trong góc MAC). C A H .2a CÁC VÍ DỤ :Ví d ụ 1 : Chứng minh rằng trong một tứ giác lồi tổng độ dài cáccạnh(chu vi) lớn hơn tổng độ dài các đường chéo và nhỏ hơn hai lần tổng độdài các đường chéo.*) Nhận xét : Đây là bài toán về chứng minh bất đẳng thức về các độ dài. nên kẻthêm các đường phụ, xét các tam giác để áp dụng mệnh đề :” Trong một tamgiác, toỏng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh thứ ba”. Giải ...