Chuyên đề 4: ( 6tiết) PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức . 2. Các phương pháp thông thường : +) Phương pháp đặt nhân tử chung AB + AC – AD = A(B+C-D). +) Phương pháp dùng hằng đẳng thức : A2  2AB + B2 = (A  B)2 A3  3A2B + 3AB2  B3= (A  B)3 A2 – B2 = (A-B)(A+B) A3- B3 = (A-B)( A2+ AB + B2) A3 + B3 = (A+ B)( A2 –AB + B2) +) Phương pháp nhóm các hạng tử :...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuyên đề 4: ( 6tiết) PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬChuyên đề 4: ( 6tiết) PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ*) KIẾN THỨC CƠ BẢN: 1. Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành mộttích của những đa thức . 2. Các phương pháp thông thường : +) Phương pháp đặt nhân tử chung AB + AC – AD = A(B+C-D). +) Phương pháp dùng hằng đẳng thức : A2  2AB + B2 = (A  B)2 A3  3A2B + 3AB2  B3= (A  B)3 A2 – B2 = (A-B)(A+B) A3- B3 = (A-B)( A2+ AB + B2) A3 + B3 = (A+ B)( A2 –AB + B2) +) Phương pháp nhóm các hạng tử : AC –AD + BC – BD = (C –D )(A + B) *) Nâng cao : 1. Dạng tổng quát của các hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, hiệuhai lập phương là : An – Bn = (A – B)(An-1 + An-2B +....+ ABn-2 + Bn-1). 1. Dạng tổng quát của hằng đẳng thức tổng hai lập phương là : An + Bn = (A + B)(An-1 – An-2B +An-3B2 - ..... – AB2 + Bn-1). 2. áp dụng vào tính chất chia hết : An – Bn A – B với n  N và A  B ; An + Bn A + B với n lẻ và A  -B : A2k – B2k A2 – B2 với k  N và A   B .các ví dụ minh hoạ:Ví d ụ 1 : Phân tích đa thức thành nhân tử : a) x2 – 6x + 8 ; b) 9x2 + 6x -8 ;Giải : Ba hạng tử của đa thức không có nhân tử chung , cũng không lậpthành bình phương của một nhị thức. Do đó ta nghĩ đến việc tách một hạngtử thành hai hạng tử để tạo thành đa thức có bốn hoặc năm hạng tử. a) Cách 1. x2 -6x + 8 = x2 – 2x – 4x + 8 = x(x – 2) – 4(x – 2) = (x – 2)(x- 4) Cách 2. x2 – 6x + 8 = x2 – 6x + 9 – 1 = (x -3)2- 1 = (x – 2)(x – 4) Cách 3. x2 – 6x +8 = x2 - 4 - 6x+12 = (x+ 2)(x – 2)–6(x-2) =(x- 2)(x- 4) Cách 4. x2– 6x+8 = x2- 16 – 6x+24 = (x+4)(x– 4) -6 (x- 4) = (x – 4)(x – 2) b) Có nhiều cách tách một hạng tử thành hai hạng tử khác, trong đó hai cách sau là thông dụng nhất :Cách 1: Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng phương phápnhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung mới. 9x2 +6x – 8 = 9x2 -6x + 12x – 8 = 3x(3x – 2) + 4(3x – 2) = (3x -2)(3x+ 4)Cách 2: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đưa đa thức về dạnghiệu của hai bình phương. 9x2 + 6x – 8 = 9x2+6x+1-9 = (3x + 1)2- 32= (3x +4)(3x -2). *) Chú ý : Cách tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử dựa vào hằngđẳng thức : mpx2 + (mp +nq)x +nq = (mx +n)(px + q). Như vậy trong tam thức bậc hai : ã2 =bx + c, hệ số b được tách thànhb1 + b2 sao cho b1b2 =ac . Trong thực hành ta làm như sau : 1. Tìm tích ac . 2. Phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách. 3. Chọn hai thừa số mà tổng bằng b. Trong đa thức 9x2 + 6x -8 thì a=9, b=6, c = -8.Bước 1 : Tích ac = 9 (- 8) = -72.Bước 2 : Phân tích -72 ra tích hai thừa số trái dấu, trong đó thừa số dương cógiá trị tuyệt đối lớn hơn ( để tổng hai thừa số đó bằng 6). -72 = (-1).72 = (-2).36 =(-3).24 =(-4) .18 = (-6).12 =(-8).9Bước 3 : Chọn hai thừa số mà tổng bằng 6. Đó là -6 và 12. Trong trường hợp tam thức a x2 + bx +c có b là số lẻ, hoặc a không làbình phương của một số nguyên thì giải theo cách 1 gọn hơn cách 2.Ví dụ 2 : Phân tích thành nhân tử :(x2 +x)2 +4x2 +4x -12. Giải : Ta nhận thấy nếu đặt x2 +x =y thì đa thức có dạng y2 + 4y -12là tam thức bậc hai đối với y. Ta có : y2 +4y -12 = y2 +6y -2y -12 = y(y +6) – 2(y +6) =(y + 6)(y -2)= (x2 +x+6)(x2 +x – 2)= (x2 + x +6)(x+2)(x – 1)Cách làm như trên gọi là đổi biến.Chú ý : Tam thức bậc hai a x2 +bx +c sẽ không phân tích tiếp được nhân tửtrong phạm vi số hữu tỉ nếu : Theo cách 1, khi phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọicách, không có hai thừa số nào có tổng bằng b, hoặc x2 – k thì k không là bìnhTheo cách 2, sau khi đưa tam thức về dạng aphương của số hữu tỉ. Tam thức x2 +x +6 không phân tích thành nhân tử được nữa(trongphạ m vi số hữu tỉ) vì : Theo cách 1, tích ac =6 =1.6= 2.3, không có hai thừa số nào có tổngbằng 1. 1 1 23 1 23Còn theo cách 2, x2 + x+6 = x2 + 2x. + + = (x + )2 + . 2 44 2 4 23 Ta thấy không là bình phương của một số hữu tỉ. 4Ví dụ 3: Phân tích thành nhân tử : x3 + 3x2 – 4.Giải : Ta tách các hạng tử của đa thức trên bằng phương pháp tìm nghiệmcủa đa thức. Ta nhắc lại a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a)= 0. Như vậy nếuđa thức f(x) chứa nhân tử x-a thì a phải là nghiệ m của đa thức. Ta lại chú ýrằng, nếu đa thức trên có một nhân tử là x-a thì nhân tử còn lại là x2 + bx +c, suy ra –ac = -4, tức là a phải là ước của -4. Tổng quát, trong đa thức vớihệ số nguyên, nghiệm nguyên nếu có phải là ước của hạng tử không đổi.Ước của -4 là  1,  2,  4. Kiểm tra ta thấy -1 là nghiệm của đa thức. Nhưvậy đa thức chứa nhân tử x-1, do đó ta tách các hạng tử của đa thức làm xuấthiện nhân tử chung x-1. x3 +3x2 – 4Cách 1. = x3 -x2 + 4x2 -4 = x2 (x -1)+ 4(x-1)(x2 +4x+4) =(x-1)(x+2)2. x3 +3x2 – 4= x3 -1 + 3x2 -3Cách 2 . = (x-1)(x2 +x+1) + 3(x-1)(x+4) = (x-1)(x2 +x+1+3x+3) = (x-1)(x+2)2. Ta cũng chú ý rằng nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thứcchứa nhân tử x-1, nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằngtổng các hệ số bậc lẻ thì đa thức chứa nhân tử x+1Ví dụ 4 : Phân tích thành nhân tử : 2x3 -5x2 + 8x -3. Giải : Các số  1,  3 không là ng ...