CHUYÊN ĐỀ 4: Các bài toán liên quan tới phương trình bậc hai và định lý Vi-et.

Tham khảo tài liệu chuyên đề 4: các bài toán liên quan tới phương trình bậc hai và định lý vi-et., tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
CHUYÊN ĐỀ 4: Các bài toán liên quan tới phương trình bậc hai và định lý Vi-et.CHUYÊN ĐỀ 4: Các bài toán liên quan tới phương trình bậc hai và định lý Vi-et.Bài 1:Cho phương trình : x2 -(2m+1)x + m2+m -1= 01.Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m.2.Chứng minh có một hệ thức giữa hai nghiệm số không phụ thuộc vào m.Giải:1. Ta có :  = (2m +1)2 - 4.(m2 + m - 1) = 5 > 0suy ra phương trình luôn có nghiệm với mọi m  x1  x 2  2m  1(1)2.Theo vi-et ta có:  2  x1 .x 2  m  m  1(2) x1  x 2  1Từ (1) suy ra: m  thay vào (2) ta có: 2 2 2  x  x 2  1   x1  x 2  1   x  x 2  1   x1  x 2  1 x1 .x 2   1   1  x1 .x 2   1   1.     2 2 2 2      Ta có đpcm.Bài 2: Tìm những giá trị nguyên của k để biệt thức  của phương trình sau là sốchính phương: k.x2 + (2.k-1).x + k-2= 0; (k  0)Giải:Ta có :  = (2k-1)2 - 4.k.(k-2) =4k +1 .Giả sử 4k + 1 là số cp khi đó nó là số cp lẻ hay: 4k + 1 = (2n + 1)2 n là số tự nhiên.Hay: k = n2 + n.Vậy để  là số cp thì k = n2 + n( thử lại thấy đúng).Bài 3: Tìm k để phương trình sau đây có ba nghiệm phân biệt : (x-2)(x2 + k.x + k2 - 3)= 0Giải:Đặt f(x)= (x-2)(x2 + k.x + k2 - 3) = (x-2).g(x)Để f(s)=0 có ba nghiệm phân biệt tương đương với g(x) =0 có hai nhgiệm phân   k 2  4.(k 2  3)  0 2  k   2biệt khác 2 hay:   k  1  g ( 2)  0Bài 4: Tìm a,b để hai phương trình sau là tương đương: x2 + (3a + 2b) x - 4 =0 (1) và x2 + (2a +3b)x + 2b=0 (2)với a và b tìm được hãy giải các phương trình đã cho.Giải:-Điều kiện cần:Nhận thấy pt (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt.Vậy pt (2) cũng phải có 2 nghiệmphân biệt giống với (1).Đặt f(x) = x2 + (3a + 2b) x - 4 =0 và g(x) = x2 + (2a +3b)x + 2b.Để hai phương trình đã cho là tương đương thì f(x) = g(x) (*) với mọi x (Vì hệ sốcủa x2 của cả hai pt đều bằng 1).Thay x = 0 vào (*) ta có b = -2 (3).Thay x = 1 vào (*) kết hợp với (3) ta được a= -2.-Điều kiện đủ:Với a=b=-2 ta thấy hai phương trình tương đương với nhau.Bài 5: Giả sử b và c là các nghiệm của phương trình : 1 x2 - a.x- .a2 =0; (a  0) 2chứng minh : b4 + c4  2+ 2 .Giải: b  c  aTheo định lý Viet ta có:  1  bc   2a 2 Ta có: b 4  c 4  (b 2  c 2 ) 2  2b 2 c 2  (b  c) 2  2bc  2b 2 c 2 2 2 1 1 3 3  b  c   a 2  2   4  a 4  4  2  2. a 4 . 4  2  6  2  2  2 . 4 4 a 2a 2a 2a Bài 6 : Chứng minh rằng với mọi a,b,c phương trình sau luôn có nghiệm : a(x-b).(x-c) + b.(x-c). (x-a) + c.(x-a).(x-b) = 0Giải:Đặt f(x) = a.(x-b).(x-c) + b.(x-c). (x-a) + c.(x-a).(x-b) == (a + b + c).x2 -2.(ab + bc + ca).x + 3abc*Nếu a + b + c  0.Khi đó: 1 22 22 22 2 2 2 = a b + b c + c a -abc.(a + b + c) = [(ab-bc) + (bc-ca) + (ca-ab) ]. 0 2*Nếu a + b + c = 0.Khi đó:-Nếu ab + bc + ca  0 thì phương trình đã cho luôn có nghiệm.-Nếu ab + bc + ca =0. Khi đó kết hợp với gt a + b + c =0 ta dễ dàng chứng minhđược a=b=c=0.Và dĩ nhiên trường hợp này pt đã cho có vô số nghiệm.Bài 7:CMR:Nếu các hệ số a,b,c của phương trình:ax2 + bx + c = 0 (a  0) đều là cácsố lẻ thì phương trình bậc hai trên không thể có nghiệm hữu tỉ.Giải:Giả sử phương trình bậc hai trên với các hệ số a,b,c đều là các số lẻ có nghiệm hữutỉ m với m,n là các số nguyên (m,n)=1 và n  0 ;khi đó ta có:x0 = n 2 m ma.    b.  c  0 hay: am 2  bmn  cn 2  0 (1).Suy ra:  n ncn 2  m c  m mà (m,n)=1  (n, m 2 )  (m, n 2 )  1 nên:  mà c,a đều là các số lẻ nên suy2 anam  n ra m,n cũng là các số lẻ.Vậy ta có:a,bc,m,n đều là các số lẻ .Do đó:am 2  bmn  cn 2  số lẻ (Mâu thuẫn với (1)).Vậy điều ta giả sử là sai.Hay nói cách khác, ta có đpcm. ...