Chuyên đề 4: Tích phân - Chủ đề 4.2

Chuyên đề 4: Tích phân - Chủ đề 4.2 tích phân trình bày các kiến thức cơ bản như định nghĩa, tính chất cơ bản về tích phân và một số bài tập kèm theo có đáp án chi tiết, mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuyên đề 4: Tích phân - Chủ đề 4.2CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂNCHUYÊN ĐỀ 4. TÍCH PHÂNBài 2. TÍCH PHÂNA - KIẾN THỨC CƠ BẢN1. Định nghĩaCho f là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [a; b]. Hiệu sốF (b) − F ( a) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b] của hàm sốb∫ f ( x)dx.f ( x ) ) kí hiệu làabTa dùng kí hiệu F ( x) a = F (b) − F (a ) để chỉ hiệu số F (b) − F ( a) .bb∫ f ( x)dx = F ( x) a = F (b) − F (a ) .VậyabNhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi∫bf ( x)dx haya∫ f (t )dt. Tích phânađó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì tích phânb∫ f ( x)dxlà diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x) , trục Ox và haiabđường thẳng x = a, x = b. Vậy S = ∫ f ( x )dx.a2. Tính chất của tích phâna1.∫b2.f ( x)dx = 0a∫bcabbbbf ( x)dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x )dx ( a < b < c ) 4.a5.∫ac3.af ( x)dx = − ∫ f ( x)dxb∫ k. f ( x)dx = k.∫ f ( x)dx (k ∈ ℝ)abab∫ [ f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx .aaaB - KỸ NĂNG CƠ BẢNMột số phương pháp tính tích phânDạng 1. Tính tích phân theo công thứcVí dụ 1: Tính các tính phân sau:1dxa) I = ∫.30 (1 + x )1xb) I = ∫dx .x +1012x + 9c) I = ∫dx .x+301xdx .20 4− xd) I = ∫Hướng dẫn giải11dxd(1 + x)1=∫=−33(1 + x )(1 + x)2(1 + x ) 200a) I = ∫103= .8Chủ đề 4.2 – Tích phânCần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com1|THBTNMã số tài liệu: BTN-CD4BTN-CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 20171b) I = ∫0CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂN1x1 1dx = ∫  1 − dx = ( x − ln( x + 1) ) 0 = 1 − ln 2 .x +1x +101112x + 93 dx = ∫  2 + dx = ( 2 x + 3ln( x + 3) ) 0 = 3 + 6ln 2 − 3ln 3 .x+3x + 300c) I = ∫()211x1 d 4− x11 3d) I = ∫dx = − ∫= − ln | 4 − x 2 | = − ln .2202 0 4− x22 44− x01Bài tập áp dụng111) I = ∫ x ( x − 1) dx .342) I = ∫5001()2 x + 3 x + 1 dx .163) I = ∫ x 1 − x dx .dx4) I = ∫0x+9 − x0.Dạng 2. Dùng tính chất cận trung gian để tính tích phânbbaSử dụng tính chấtbaa∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dxđể bỏ dấu giá trị tuyệt đối.2Ví dụ 2: Tính tích phân I = ∫ | x + 1| dx .−2Hướng dẫn giải x + 1,− x − 1,Nhận xét: x + 1 = −1 ≤ x ≤ 2− 2 ≤ x < −12−12−2−2.−1Do đó I = ∫ | x + 1| dx = ∫ | x + 1| dx + ∫ | x + 1| dx−1−122 x2 x2= − ∫ ( x + 1) dx + ∫ ( x + 1) dx = −  + x  +  + x  = 5 2 −2  2 −1−2−1Bài tập áp dụng321) I = ∫ | x 2 − 4 | dx .2) I = ∫ | x 3 − 2 x 2 − x + 2 | dx .−4−1π33) I = ∫ | 2 − 4 | dx .x4) I =02∫π 2 | sin x | dx .−π5) I = ∫ 1 + cos 2 xdx .02Dạng 3. Phương pháp đổi biến số1) Đổi biến số loại 1Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số u = u ( x ) có đạo hàm liên tục trên đoạn[a; b] và α ≤ u ( x ) ≤ β . Giả sử có thể viết f ( x) = g (u ( x))u ′( x), x ∈ [a;b], với g liên tục trênđoạn [α ; β ]. Khi đó, ta cóbI = ∫ f ( x)dx =au (b )∫g (u )du.u (a)π2Ví dụ 3: Tính tích phân I = ∫ sin 2 x cos xdx .0Chủ đề 4.2 – Tích phânCần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com2|THBTNMã số tài liệu: BTN-CD4BTN-CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂNHướng dẫn giảiĐặt u = sin x. Ta có du = cos xdx. Đổi cận: x = 0 ⇒ u (0) = 0; x =π ⇒ u   = 1.22ππ210011313Khi đó I = ∫ sin 2 x cos xdx = ∫ u 2 du = u 3 = .0Bài tập áp dụng11) I = ∫ x x + 1dx .21e2) I = ∫ x x + 1dx .00e21 + ln xdx .x3) I = ∫314) I = ∫edx.2 x 2 + ln xDấu hiệu nhận biết và cách tính tính phânDấu hiệuCó thể đặtVí dụI=∫3x 3 dx. Đặt t = x + 1x +11Có2Có (ax + b) n dxt = ax + bI = ∫ x( x + 1) 2016 dx . Đặt t = x + 13Có a f ( x ) dxt = f ( x)I =∫44Cóf ( x)dxdxvà ln xxt=f ( x)010e tan x +3dx . Đặt t = tan x + 30 cos 2 xe ln xdxI =∫. Đặt t = ln x + 11 x (ln x + 1)πt = ln x hoặc biểu thứcchứa ln xt = e x hoặc biểu thứcI =∫ln 2 2 xe3e x + 1dx . Đặt t = 3e x + 15Có e dx6Có cos xdxt = sin xI = ∫ 2 sin 3 x cos xdx . Đặt t = sin x7Có sin xdxt = cos xI =∫8dxCócos 2 xt = tan xI =∫49Códxsin 2 xt = cot xI = ∫π4x0chứa e xπ0π0sin 3 xdx Đặt t = 2cos x + 12cos x + 1ππ11dx = ∫ 4 (1 + tan 2 x)dx0 cos 4 x0cos 2 xĐặt t = tan xπ6πecot xecot xdx = ∫π4dx . Đặt t = cot x1 − cos 2 x2sin 2 x62) Đổi biến số loại 2Cho hàm số f ( x ) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [ a; b]. Giả sử hàm số x = ϕ (t) có đạo hàm vàliên tục trên đoạn [α ; β ] sao cho ϕ (α ) = a,ϕ ( β ) = b và a ≤ ϕ (t ) ≤ b với mọ i t ∈[α ; β ]. Khi đó:b∫βf ( x )dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ ′(t )dt.aαMột số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạngπ π1. a 2 − x 2 : đặt x =| a | sin t; t ∈ − ;  2 2|a| π π; t ∈  − ;  \ {0}sin t 2 22.x 2 − a 2 : đặt x =3. π πx 2 + a 2 : x = a tan t ; t ∈  − ;  2 2Chủ đề 4.2 – Tích phânCần file Word vui lòng liên hệ: toanhocbactrungnam@gmail.com3|THBTNMã số tài liệu: BTN-CD4BTN-CHINH PHỤC KỲ THI THPTQG 2017a+xhoặca−x4.CHUYÊN ĐỀ 4 – TÍCH PHÂNa−x: đặt x = a.cos 2ta+xVí dụ 4: Tính các tích phân sau:11dx.20 1+ xa) I = ∫ 1 − x 2 dx .b) I = ∫0Hướng dẫn giảia) Đặt x = sin t ta có dx = cos tdt. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t =π22002.π1π0πVậy I = ∫ 1 − x 2 dx = ∫ cos t dt = ∫ cos tdt = sin t |02 = 1.b) Đặt x = tan t , ta có dx = (1 + tan 2 t ) dt . Đổi cận: khi x = 0 ⇒ t = 0 ; khi x = 1 ⇒ t =π4.π1π4dxπ4= ∫ dt = ...