Chuyên đề bất đẳng thức trong Đại số và Hình học lớp 9 ở trường THCS Quảng Minh

Nhằm giúp đỡ cho các bạn học sinh lớp 9 nắm vững kiến thức và áp dụng giải toán bất đẳng thức trong Đại số và Hình học để chuẩn bị kỳ thi vào các trường THPT sắp tới, mời các bạn tham khảo “Chuyên đề bất đẳng thức trong Đại số và Hình học lớp 9 ở trường THCS Quảng Minh ”.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuyên đề bất đẳng thức trong Đại số và Hình học lớp 9 ở trường THCS Quảng Minh CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐẠI SỐ VÀ HÌNH HỌC LỚP 9 Ở TRƯỜNG THCS QUẢNG MINH B Nội dungPhần I: áp dụng giải toán bất đẳng thức trong đại số ở trường THCS. I/ Một số kiến thức cơ bản về bất đẳng thức. 1. Định nghĩa: Cho 2 số a và b ta nói: a lớn hơn b, kí hiệu: a > b  a - b > 0. a nhỏ hơn b, kí hiệu: a < b  a - b < 0. 2. Các tính chất của bất đẳng thức: 2.1. a > b  b < a. 2.2. Tính chất bắc cầu: a > b, b > c  a > c. 2.3. Tính chất đơn điệu của phép cộng: Cộng cùng một số vào hai vế của bấtđẳng thức: a > b  a + c > b + c. 2.4. Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều được bất đẳng thức mới cùngchiều với bất đẳng thức đã cho: a > b, c > d  a + c > b + d. Chú ý: không được trừ từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều. 2.5. Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngược chiều được bất đẳng thức mớicùng chiều với bất đẳng thức bị trừ. Nếu a > b, c > d thì a - c > b - d 2.6. Tính chất đơn điệu của phép nhân: a) Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số dương. a > b, c > 0  a.c > b.c b) Nhân hai vế của bất đẳng thức với cùng một số âm. a > b, c < 0  a.c < b.c 2.7. Nhân từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều mà hai vế không âm Nếu a > b  0, c > d  0 thì ac > bd. 2.8. Nâng lên luỹ thừa bậc nguyên dương hai vế của bất đẳng thức a > b > 0  an > bn. a > b  an > bn với n = 2k ( k  Z). 2.9. So sánh hai luỹ thừa cùng cơ số với số mũ nguyên dươngVới m > n > 0: - Nếu a > 1 thì am > an. - Nếu a = 1 thì am = an. - Nếu 0 < a < 1 thì am < an. 2.10. Lấy nghịch đảo hai vế và đổi chiều bất đẳng thức nếu hai vế cùng dấu 1 1 Nếu a > b > 0 hoặc a < b < 0 thì  a b Chú ý: Ngoài các bất đẳng thức chặt (a > b) ta còn gặp các bất đẳng thức khôngchặt (a  b) tức là a > b hoặc a = b. Trong các tính chất nêu trên nhiều tính chất dấu “>” (hoặc dấu “ 0. a b ab a b d/ + 2 với ab > 0. b a e/ (ax + by)2  (a2 + b2).(x2 + y2). (Bất đẳng thức Bunhia - Côpxki) II. Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức trong đại số 1. Phương pháp dùng định nghĩa 1.1 Cơ sở toán học: Để chứng minh A > B ta chứng minh A - B > 0. Để chứng minh A < B ta chứng minh A - B < 0. 1.2 Ví dụ minh hoạ. Ví dụ 1: Chứng minh rằng (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)  -1. Giải Xét hiệu: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) - (-1) = [(x-1)(x-2)].[(x-2)(x-3)] = (x2-5x+4)(x2-5x+6) + 1. Đặt (x2-5x+5) = y, biểu thức trên được viết lại như sau: (y-1)(y+1) + 1 = y2-1+1 = y2  0. (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) - (-1)  0 hay (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)  -1. Ví dụ 2: Chứng minh: 2(x2 + y2)  (x + y)2. Giải Xét hiệu 2 vế:2(x + y2) - (x + y)2 = 2x2 + 2y2 - x2 - 2xy - y2 = x2 - 2xy + y2 = (x + y)2  0. 2 Vậy 2(x2 + y2)  (x + y)2. Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu a và b là các số thực không âm thì: ab  ab . 2 Giải ab a  b  ab ( a  b )2 Xét hiệu: - ab = =  0. Đúng với mọi a; b  0. 2 2 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. 2 a 3  b3  a  b  Ví dụ 4: Cho a > 0; b > 0. Chứng minh rằng:   . 2  2  GiảiXét hiệu: A = a 3  b3  a  b     2  a  b  a 2  ab  b 2  a  b   3 2  2  2 8 ab 2 a 2  2ab  b 2    a  ab  b 2   2   4   a  b  4a 2  4ab  4b 2  a 2  2ab  b 2     2   4   3  a  b a  b 2 . 8Vì a > 0; b > 0; (a - b)2  0 nên A  0. 2 a 3  b3  a  b Vậy   . 2  2  1.3. Bài tập tự giải. Chứng minh các bất đẳng thức sau: 2 a2  b2  a  b  1/   . 2  2  2/ x3 + 4x + 1 > 3x2 với x  3. 3/ Cho a + b = c + d. Chứng minh rằng: c2 + d2 + cd  3ab. 1 1 2 4/ Với a  b  1 thì 2  2 ...