Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi: Ứng dụng của định lí Lagrang

Tài liệu "Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi: Ứng dụng của định lí Lagrang" trình bày các nội dung về: Định lí Lagrang; Ứng dụng định lý Lagrang để giải phương trình; Ứng dụng định lý Lagrang để giải phương trình có nghiệm; Ứng dụng định lý Lagrang để chứng minh bất đẳng thức;... Mời các bạn cùng tham khảo!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi: Ứng dụng của định lí Lagrang CÁC CHUYÊN ð B I DƯ NG H C SINH GI I Chuyên ð : NG D NG C A ð NH LÍ LAGRANGI. Lý thuy t: 1. ð nh lí Lagrang: Cho hàm s y=f(x) liên t c trên [a;b] và kh vi trên (a;b), khi ñó f (b) − f (a )t m t i s th c c ∈ (a; b) : f (c) = b−aH qu 1:N u hàm s y=f(x) liên t a trên [a;b] , kh vi trên (a;b) và f(a)=f(b) thìPt: f’(x)=0 có ít nh t m t nghi m trên (a;b)H qu 2:Cho hàm s y=f(x) có ñ o hàm ñ n c p n. .N u pt f ( n) ( x) = 0 có k nghi m thìPt f ( n −1) ( x) = 0 có nhi u nh t (k+1) nghi mII. Các ng d ng:1. ng d ng ñ/l Lagrang ñ gi i pt:Phương pháp: ð gi i pt f(x)=0 ta s d ng h qu 2 ch ng minh s nghi m nhi u nh tc a pt có th có ñư c, sau ñó ta ch ra ñư c các nghi m c a ptBài 1:Gi i pt: 2003 x + 2005 x = 4006 x + 2 (HSG Ngh an 2005)Gi i: Xét hàm s : f ( x ) = 2003 x + 2005 x − 4006 x − 2Ta có: f ( x ) = 2003x ln 2003 + 2005x ln 2005 − 4006 f ( x ) = 2003 x ln 2 2003 + 2005 x ln 2 2005 > 0 ∀x ⇒ f ( x ) = 0 voâ nghieäm⇒ f(x)=0 coù nhieàu nhaát laø moät nghieäm ⇒ f(x)=0 coù nhieàu nhaát laø hai nghieämMà ta th y f(1)=f(0)=0 nên pt ñã cho có hai nghi m x=0 và x=1Bài 2: Gi i pt: 3cosx = 2cosx + cosxGi i: ð t t=cosx; t ∈[-1;1] khi ñó pt tr thành: 3t = 2 t + t ⇔ 3t − 2t − t = 0 , ta th y ptnày có hai nghi m t=0 và t=1 ta s c/m ñó là s nghi m nhi u nh t mà pt có th có:Xét hàm s : f (t ) = 3t - 2t - t v i t ∈[-1;1] ta có f (t ) = 3t ln 3 − 2t ln 2 − 1 f ( x) = 3t ln 2 3 − 2t ln 2 2 > 0 ⇒ f’(x)=0 có nhi u nh t 1 nghi m nên f(x) =0 có nhi u nh thai nghi m t ñó ta có ñpcm πV y pt có hai h nghi m: x = k 2π ; x = + kπ 2Bài 3: Gi i pt: 3 x = 1 + x + log3 (1 + 2 x ) (TH&TT)Gi i: ðk: x>-1/2pt ⇔ 3 x + x = 1 + 2 x + log3 (1 + 2 x ) ⇔ 3 x + log3 3 x = 1 + 2 x + log3 (1 + 2 x ) (1)Xét hàm s : f (t ) = t + log3 t ta có f(t) là hàm ñ ng bi n nên(1) ⇔ f (3 x ) = f (1 + 2 x ) ⇔ 3 x = 2 x + 1 ⇔ 3 x − 2 x − 1 = 0 (2)Xét hàm s : f ( x ) = 3 x − 2 x − 1 ⇒ f ( x ) = 3 x ln 3 − 2 ⇒ f ( x ) = 3 x ln 2 3 > 0⇒ f ( x ) = 0 có nhi u nh t là hai nghi m, mà f(0)=f(1)=0 nên pt ñã cho có hai nghi mx=0 và x=1GV: Nguy n T t Thu – Trư ng THPT Lê H ng Phong – Biên Hòa CÁC CHUYÊN ð B I DƯ NG H C SINH GI IBài 4: Gi i pt: 5 x + 12 x = 6 x + 11xGi i: pt ⇔ 12 x − 11x = 6 x − 5 x . Gi s m là nghi m c a pt, xét hàm sf (t ) = t m − (t − 1)m ta có f(12)=f(6) nên theo h qu 1 thì t n t i c ∈ (6;12) : f’(c)=0hay mc m −1 − m(c − 1)m −1 = 0 ⇔ m[c m −1 − (c − 1) m −1 ]=0 ⇔ m = 0, m = 1Th l i ta th y tho mãn. V y x=0 và x=1 là nghi m c a ptBài T p: Gi i các pt sau 1. 3x + 5 x = 2.4 x 2. (1 + x)(2 + 4 x ) = 3.4 x 3. 9 x + 3x = (2 x + 1)2 x +1 2 2 4. 4 x + 2 x = 3x + 3x2. ng d ng ñ nh lí Lagrang ñ cm pt có nghi m:Phương pháp:ð cm pt f(x)=0 có nghi m trên (a;b) ta ñi xét hàm F(x) có tính ch t :th amãn các ñi u ki n ñ/l Lagrang , F’(x)=f(x) sau ñó ta cm hàm F(x) th a mãn ñk c a Hqu 1 t ñó ta có ñi u ph i ch ng minh a b cBài 1: Cho các s th c a,b,c th a mãn ñk: + + = 0 . Cmr b 2 ≥ 4ac (1) m + 2 m +1 mGi i: Ta có (1) chính là ñi u ki n c n và ñ ñ pt: ax2+bx+c=0 có nghi m nên ta chuy nvi c cm (1) v cm pt ax2+bx+c=0 có nghi m* N u a=0 thì (1) luôn ñúng xm+ 2 x m +1 xm* N u a ≠ 0 . Xét hàm s f ( x) = a +b +c ta th y f(x) có ñ o hàm trên R m+2 m +1 m a b cvà f(1)= + + = 0 =f(0) nên theo h qu 1 thì pt f’(x)=0 có nghi m (0;1) m + 2 m +1 mhay pt: ax m+1 +bx m +cx m-1 =0 ⇔ ax 2 + bx + c = 0 có nghi m trên (0;1) t ñó ta có ñpcmBài 2:Cho các s th c a,b,c và s nguyên n>0 tho mãn: 5c(n+2)+6(a+b)=0. Cmr pt πa.sin n x + b.cos n x + c.sinx+c=0 luôn có no trên (0; ) (HSG Ngh an 2004) 2 a 5c bGi i: Ta có: gt ⇔ + =− (*) n+2 6 n+2 sin n + 2 x cos n+2 x sin 3 x sin 2 x πXét hàm s f ( x) = a −b +c +c trên [0; ] ta th y f(x) tho n+2 n+2 3 2 2 π b π a 5cmãn ñk ñ/l Lagrang trên [0; ] . M t khác ta l i có: f (0) = − ;f( )= + 2 n+2 2 n+2 6 π ...