Chuyên đề Điểm cực trị của hàm số

Tham khảo tài liệu chuyên đề điểm cực trị của hàm số, tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Chuyên đề Điểm cực trị của hàm số Chuyên đềĐiểm cực trị của hàm số Biên soạn: Thầy Bùi Anh Tuấn Cộng tác viên truongtructuyen.vn Nội dung Tóm tắt lý thuyết Một số chú ý Ví dụ minh hoạ Bài tập tự giảiTóm tắt lý thuyết Điểm cực trị của hàm số Cho hàm số y = f(x); Tìm điểm cực trị của hàm số. • Cách 1: - Tìm f’(x) - Tìm các điểm tới hạn. - Xét dấu f’(x) suy ra các điểm cực trị. • Cách 2: - Tìm f’(x); f’’(x) - Tìm các điểm tới hạn, giả sử là x0. f (x 0 ) = 0  ⇔ x 0 là điểm cực tiểu.  f (x 0 ) > 0 f (x 0 ) = 0  ⇔ x 0 là điểm cực đại.  f (x 0 ) < 0 Điểm cực trị của hàm số Một số chú ý: Đối với cách 1 • Nếu tại x0 mà từ trái qua phải đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì x0 là điểm cực đại. • Nếu tại x0 mà từ trái qua phải đạo hàm đổi dấu từ âm qua dương thì x0 là điểm cực tiểu. • Đạo hàm y’ không đổi dấu qua nghiệm kép • Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số thì f(x0) là giá trị cực trị, M(x0; f(x0)) là điểm cực trị của đồ thị hàm số. Điểm cực trị của hàm sốVí dụ minh họa - Ví dụ 1Tìm m để hàm số y = mx3 + 3mx2 – (m - 1)x - 1 có cực trị. Lời giải y’ = 3mx2 + 6mx – (m – 1) = 0 m = 0 ⇒ 1 = 0 (Vô lý) ⇒ Hàm số không có cực trị. m ≠ 0. Để hàm số có cực trị thì y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt 1 ⇔ ∆ = 9m2 + 3m ( m − 1) > 0 ⇔ 3m ( 4m − 1) > 0 ⇔ m < 0 hoÆc m > 4 1 Kết luận: Vậy m < 0 hoÆc m > thì hàm số có cực trị. 4 Chú ý: Một số học sinh thường mắc sai lầm chỉ có điều kiện ∆’ ≥ 0 vì: • Hệ số a = 3m chứa tham số nên cần phải xét a = 0 hoặc a ≠ 0. • Nếu a ≠ 0, khi tính ∆’≥ 0 là sai vì ∆ = 0 thì y’ = 0 có nghiệm kép mà qua nghiệm kép thì y’ không đổi dấu nên chỉ có điều kiện: ∆’ > 0. Điểm cực trị của hàm sốVí dụ minh họa (tt) - Ví dụ 2 1 3 1Cho hàm số y = x − ( m − 1) x 2 + 3 ( m − 2 ) x + . Giá trị nào của m để hàm số 3 3đạt cực đại tại x = 0. Lời giải f (0) = 0Hàm số đạt cực đại tại x=0⇔ f (0) < 0Ta có f (x) = x 2 − 2 ( m − 1) x + 3 ( m − 2 )f (x) = 2x − 2 ( m − 1))f (0) = 3 ( m − 2 ) ; f ( 0 ) = −2 ( m − 1) 3 ( m − 2 ) = 0  m = 2Thay vµo hÖ :  ⇔ −2 ( m − 1) < 0  m > 1Vậy m = 2 thì hàm số đạt cực đại tại x = 0. Điểm cực trị của hàm sốVí dụ minh họa (tt) – Ví dụ 3Tìm m để hàm số y = x4 + 4mx3 + 3(m + 1)x2 + 1 chỉ có một cực trị. Lời giảiTa có: y = 4x 3 + 12mx 2 + 6 ( m + 1) x = 0 (1) x = 0 ⇔ 2  2x + 6mx + 3(m + 1) = 0 (2)Để hàm số chỉ có 1 cực trị ⇔ (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép hoặc có 2nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 0.(2) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép ⇔ ∆’ ≤ 0 1− 7 1+ 7 ⇔ 9m2 − 6(m + 1) ≤ 0 ⇔ ≤m≤ 3 3 Điểm cực trị của hàm sốVí dụ minh họa (tt) – Ví dụ 3(2) có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm bằng 0.  1− 7 1+ 7 ∆ > 0 m < ∪m > ⇔ ⇔ 3 3 ⇔ m = −1 3(m + 1) = 0 m = −1  1 − 7 1 + 7 Vậy với m∈  ;  ∪ { −1} thì hàm số chỉ có một điểm cực trị.  3  3  Điểm cực trị của hàm sốVí dụ minh họa (tt) – Ví dụ 4 x 2 + 2mx − 2Cho hàm số y = . Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại mx + 1x1; x2 thỏa mãn x1 + x2 = 4x1.x2 Lời giải mx 2 − 2x + 4mTa có: y = = 0 ⇔ f(x) = mx 2 − 2x + 4m = 0 (mx + 1)2   m ≠ 0 m ≠ 0   Để hàm số có cực đại, cực tiểu tại x1;x 2 ⇔ ∆ > 0 ⇔ 1 − 4m2 > 0 ...